与えられた三角形の面積を、$sinA$を利用して求める問題です。三角形の辺の長さは$a=5$, $b=9$, $c=8$で与えられています。

1. 問題の内容

与えられた三角形の面積を、$sinA$を利用して求める問題です。三角形の辺の長さは$a=5$, $b=9$, $c=8$で与えられています。

2. 解き方の手順

三角形の面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2}bc\sin A$ で表されます。

$b$ と $c$ の値はわかっているので、$sinA$ を求める必要があります。

余弦定理より、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ が成り立ちます。

この式を$\cos A$について解くと、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

与えられた値を代入すると、

$\cos A = \frac{9^2 + 8^2 - 5^2}{2 \cdot 9 \cdot 8} = \frac{81 + 64 - 25}{144} = \frac{120}{144} = \frac{5}{6}$

$sin^2 A + cos^2 A = 1$ より、

$sin^2 A = 1 - cos^2 A = 1 - (\frac{5}{6})^2 = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$

$sin A = \sqrt{\frac{11}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6}$

($sinA > 0$ より正の平方根のみを考えます。)

したがって、三角形の面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{11}}{6} = \frac{72}{12} \sqrt{11} = 6\sqrt{11}$

3. 最終的な答え

$6\sqrt{11}$