与えられた三角形の面積を $\sin A$ を利用して求める問題です。三角形の辺の長さは、$a=5$, $b=6$, $c=7$ です。

1. 問題の内容

与えられた三角形の面積を $\sin A$ を利用して求める問題です。三角形の辺の長さは、$a=5$, $b=6$, $c=7$ です。

2. 解き方の手順

三角形の面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2}bc\sin A$ で求めることができます。

$\sin A$ の値を求める必要があります。

余弦定理より、$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ なので、$\cos A$ を計算します。

$\cos A = \frac{6^2 + 7^2 - 5^2}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{36 + 49 - 25}{84} = \frac{60}{84} = \frac{5}{7}$

次に、$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より、$\sin A$ を計算します。

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (\frac{5}{7})^2 = 1 - \frac{25}{49} = \frac{49 - 25}{49} = \frac{24}{49}$

$\sin A = \sqrt{\frac{24}{49}} = \frac{\sqrt{24}}{7} = \frac{2\sqrt{6}}{7}$

面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{7} = 3 \cdot 2\sqrt{6} = 6\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$6\sqrt{6}$