与えられた三角形の面積を、$\sin A$を利用して求める問題です。三角形の各辺の長さは $a=8$, $b=7$, $c=5$ で与えられています。

1. 問題の内容

与えられた三角形の面積を、$\sin A$を利用して求める問題です。三角形の各辺の長さは $a=8$, $b=7$, $c=5$ で与えられています。

2. 解き方の手順

三角形の面積 $S$ は、2辺とその間の角のサインを使って求めることができます。今回は、$b$ と $c$ の間の角が $A$ なので、以下の公式を利用します。

$S = \frac{1}{2}bc\sin A$

まず、余弦定理を用いて $\cos A$ を求めます。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$\cos A = \frac{7^2 + 5^2 - 8^2}{2 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{49 + 25 - 64}{70} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}$

次に、$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ の関係を用いて $\sin A$ を求めます。

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$

$\sin^2 A = 1 - \left(\frac{1}{7}\right)^2 = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$

$\sin A = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{\sqrt{48}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

最後に、三角形の面積 $S$ を計算します。

$S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

三角形の面積は $10\sqrt{3}$ です。