三角形ABCにおいて、$a=2$, $b=3$, $c=4$であるとき、$\sin A$を利用して三角形の面積を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=2$, $b=3$, $c=4$であるとき、$\sin A$を利用して三角形の面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて$\cos A$を求める。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$より、

$2^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cos A$

$4 = 9 + 16 - 24 \cos A$

$24 \cos A = 21$

$\cos A = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$

次に、$\sin A$を求める。

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$より、

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (\frac{7}{8})^2 = 1 - \frac{49}{64} = \frac{15}{64}$

$\sin A = \sqrt{\frac{15}{64}} = \frac{\sqrt{15}}{8}$

($0 < A < \pi$より、$\sin A > 0$であることに注意)

最後に、三角形の面積$S$を求める。

$S = \frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} = \frac{12\sqrt{15}}{16} = \frac{3\sqrt{15}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt{15}}{4}$