三角形の3辺の長さがそれぞれ $a=4$, $b=5$, $c=6$ であるとき、$\sin A$ を利用してこの三角形の面積を求める。

1. 問題の内容

三角形の3辺の長さがそれぞれ $a=4$, $b=5$, $c=6$ であるとき、$\sin A$ を利用してこの三角形の面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて $\cos A$ を求める。余弦定理より、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

であるから、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

与えられた値を代入すると、

$\cos A = \frac{5^2 + 6^2 - 4^2}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{25 + 36 - 16}{60} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$

次に、$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ を用いて $\sin A$ を求める。

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$\sin A > 0$ であるから、

$\sin A = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

三角形の面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2}bc \sin A$ で求められる。

$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{30}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = 15 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{15\sqrt{7}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{15\sqrt{7}}{4}$