問題は、与えられた三角形の面積を $\sin A$ を利用して求める問題です。三角形の辺の長さは $a=6$, $b=8$, $c=4$ です。

1. 問題の内容

問題は、与えられた三角形の面積を $\sin A$ を利用して求める問題です。三角形の辺の長さは $a=6$, $b=8$, $c=4$ です。

2. 解き方の手順

三角形の面積 $S$ は、2辺とその間の角のサインを用いて計算できます。

今回は、辺 $b$ と $c$ と角 $A$ を用いて面積を計算します。

$S = \frac{1}{2}bc\sin A$

まずは、余弦定理を用いて $\cos A$ を求めます。余弦定理は以下の通りです。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

この式に与えられた値を代入すると、

$6^2 = 8^2 + 4^2 - 2 \times 8 \times 4 \times \cos A$

$36 = 64 + 16 - 64\cos A$

$36 = 80 - 64\cos A$

$64\cos A = 80 - 36$

$64\cos A = 44$

$\cos A = \frac{44}{64} = \frac{11}{16}$

次に、$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ を用いて $\sin A$ を求めます。

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$

$\sin^2 A = 1 - \left(\frac{11}{16}\right)^2$

$\sin^2 A = 1 - \frac{121}{256}$

$\sin^2 A = \frac{256 - 121}{256}$

$\sin^2 A = \frac{135}{256}$

$\sin A = \sqrt{\frac{135}{256}} = \frac{\sqrt{135}}{16} = \frac{\sqrt{9 \times 15}}{16} = \frac{3\sqrt{15}}{16}$

最後に、三角形の面積を計算します。

$S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 \times \frac{3\sqrt{15}}{16} = 16 \times \frac{3\sqrt{15}}{16} = 3\sqrt{15}$

3. 最終的な答え

三角形の面積は $3\sqrt{15}$ です。