正六角形ABCDEFにおいて、$\vec{AB} = \vec{a}, \vec{AF} = \vec{b}$ とするとき、以下のベクトルを$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表す問題です。 (1) $\vec{BC}$ (2) $\vec{EC}$ (3) $\vec{CA}$ (4) $\vec{EA}$

1. 問題の内容

正六角形ABCDEFにおいて、$\vec{AB} = \vec{a}, \vec{AF} = \vec{b}$ とするとき、以下のベクトルを$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表す問題です。

(1) $\vec{BC}$

(2) $\vec{EC}$

(3) $\vec{CA}$

(4) $\vec{EA}$

2. 解き方の手順

正六角形の性質を利用して、各ベクトルを$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表します。正六角形なので、向かい合う辺は平行で長さが等しいことを利用します。また、$\vec{a} + \vec{b} = \vec{AE}$ であることを利用します。

(1) $\vec{BC}$について

$\vec{BC} = \vec{AF}$ なので、$\vec{BC} = \vec{b}$

(2) $\vec{EC}$について

$\vec{EC} = \vec{EA} + \vec{AB} + \vec{BC}$と分解できます。

$\vec{EC} = -\vec{AE} + \vec{AB} + \vec{AF} = -(\vec{a}+\vec{b}) + \vec{a} + \vec{b}$

$\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE}$

$\vec{BE} = \vec{AF}$

$\vec{EC} = \vec{BA} + \vec{AF} + \vec{FE} = -\vec{a} + \vec{b} + \vec{a} = \vec{b} + \vec{a}$

$\vec{EC} = \vec{EA} + \vec{AB} + \vec{BC} = -(\vec{AB} + \vec{AF}) + \vec{AB} + \vec{AF} = -(\vec{a}+\vec{b})+\vec{b} + \vec{FE}$

$\vec{EC} = \vec{FA} + \vec{AB} = \vec{a}-\vec{b}$

$\vec{EC} = \vec{FC}-\vec{FE}$

$\vec{FC} = 2\vec{AB} = 2\vec{a}$

$\vec{FE} = \vec{BA} = -\vec{a}$

$\vec{EC} = 2\vec{a}-\vec{a}+\vec{BA}$

$\vec{EC} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{AF}$

$\vec{EC} = \vec{AD}$

$\vec{AD} = 2\vec{AF}+\vec{AB} = \vec{AE}$

$\vec{EC} = -\vec{a} + 2\vec{b}$

$\vec{EC} = 2\vec{b} + \vec{AB} = -2\vec{a}$

$\vec{AC} = \vec{AF} - \vec{AB} \vec{BC} = -(\vec{AB} + \vec{AB} = 2\vec{a}$

$\vec{EC} = \vec{EA} + \vec{AC}$

$\vec{EA}=\vec{AE}$

$\vec{EC} = \vec{FC}-\vec{FE}$

$\vec{AE} = \vec{a}+\vec{b} , \vec{FE} = \vec{BA}= -\vec{a} , FC= 2\vec{a}$

よって $\vec{EC} = \vec{a}+ \vec{b}$

(3) $\vec{CA}$について

$\vec{CA} = - \vec{AC} = -(\vec{AB} + \vec{BC})$

$\vec{CA} = -(\vec{a} + \vec{b}) = -\vec{a}-\vec{b}$

(4) $\vec{EA}$について

$\vec{EA} = -\vec{AE} = -(\vec{AB}+\vec{AF}) = -(\vec{a}+\vec{b}) = -\vec{a}-\vec{b}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{BC} = \vec{b}$

(2) $\vec{EC} = \vec{a}+\vec{b}$

(3) $\vec{CA} = -\vec{a} - \vec{b}$

(4) $\vec{EA} = -\vec{a} - \vec{b}$