与えられた条件から四角形ABCDの面積Sを求める問題です。 (1) 平行四辺形ABCDにおいて、対角線の交点をOとするとき、$AC=10$, $BD=6\sqrt{2}$, $\angle AOD = 135^\circ$。 (2) 台形ABCDにおいて、$AD // BC$, $AB=5$, $BC=8$, $BD=7$, $\angle A = 120^\circ$。

1. 問題の内容

与えられた条件から四角形ABCDの面積Sを求める問題です。

(1) 平行四辺形ABCDにおいて、対角線の交点をOとするとき、$AC=10$, $BD=6\sqrt{2}$, $\angle AOD = 135^\circ$。

(2) 台形ABCDにおいて、$AD // BC$, $AB=5$, $BC=8$, $BD=7$, $\angle A = 120^\circ$。

2. 解き方の手順

(1) 平行四辺形ABCDの面積を求めます。

平行四辺形の対角線は互いに他を二等分するため、$AO = \frac{1}{2}AC = 5$, $DO = \frac{1}{2}BD = 3\sqrt{2}$。

平行四辺形の面積は、2つの対角線と、その間の角$\theta$を用いて、$S = \frac{1}{2} \times AC \times BD \times \sin \theta$と表されます。

$\angle AOD = 135^\circ$より、$\sin 135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$。

したがって、$S = \frac{1}{2} \times 10 \times 6\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 \times \frac{2}{2} = 30$

(2) 台形ABCDの面積を求めます。

$\angle A = 120^\circ$より、$\angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$。

三角形ABDにおいて、余弦定理より、$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \times AB \times AD \times \cos A$。

$7^2 = 5^2 + AD^2 - 2 \times 5 \times AD \times \cos 120^\circ$。

$49 = 25 + AD^2 - 10AD \times (-\frac{1}{2})$。

$AD^2 + 5AD - 24 = 0$。

$(AD+8)(AD-3) = 0$。

$AD>0$より、$AD = 3$。

点DからBCに垂線DEを下ろすと、$\angle B = 60^\circ$なので、三角形BDEは$30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$の直角三角形である。

$DE = AB \sin 60^\circ = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$。

台形ABCDの面積は、$S = \frac{1}{2}(AD+BC) \times DE = \frac{1}{2}(3+8) \times \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{55\sqrt{3}}{4}$。

3. 最終的な答え

(1) 30

(2) $\frac{55\sqrt{3}}{4}$