問題は以下の2つです。 問1: $AB = 4$, $BC = 5$, $CA = 6$ である $\triangle ABC$ において、$\cos{\angle BAC}$ の値を求め、選択肢の中から選びなさい。 問2: $\triangle ABC$ の面積を求め、選択肢の中から選びなさい。

はい、解いていきましょう。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

問1: $AB = 4$, $BC = 5$, $CA = 6$ である $\triangle ABC$ において、$\cos{\angle BAC}$ の値を求め、選択肢の中から選びなさい。

問2: $\triangle ABC$ の面積を求め、選択肢の中から選びなさい。

2. 解き方の手順

問1: $\cos{\angle BAC}$ の値を求める

余弦定理を用いて $\cos{\angle BAC}$ を計算します。余弦定理は、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos{A}$

ここで、$a = BC = 5$, $b = AC = 6$, $c = AB = 4$, $A = \angle BAC$ とすると、

$5^2 = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \cos{\angle BAC}$

$25 = 36 + 16 - 48 \cos{\angle BAC}$

$48 \cos{\angle BAC} = 36 + 16 - 25 = 27$

$\cos{\angle BAC} = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}$

よって、$\cos{\angle BAC} = \frac{9}{16}$

問2: $\triangle ABC$ の面積を求める

$\sin^2{\angle BAC} + \cos^2{\angle BAC} = 1$ を用いて、$\sin{\angle BAC}$ を計算します。

$\sin^2{\angle BAC} = 1 - \cos^2{\angle BAC} = 1 - (\frac{9}{16})^2 = 1 - \frac{81}{256} = \frac{256 - 81}{256} = \frac{175}{256}$

$\sin{\angle BAC} = \sqrt{\frac{175}{256}} = \frac{\sqrt{175}}{16} = \frac{\sqrt{25 \cdot 7}}{16} = \frac{5\sqrt{7}}{16}$

$\triangle ABC$ の面積は、

$\frac{1}{2}bc\sin{A} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \frac{5\sqrt{7}}{16} = \frac{120\sqrt{7}}{32} = \frac{15\sqrt{7}}{4}$

よって、$\triangle ABC$ の面積は $\frac{15\sqrt{7}}{4}$

3. 最終的な答え

問1: $\cos{\angle BAC} = \frac{9}{16}$ (選択肢 c)

問2: $\triangle ABC$ の面積 $= \frac{15\sqrt{7}}{4}$ (選択肢 d)