三角形ABCにおいて、$AB=8$, $AC=5$, $\angle A = 120^\circ$とする。角Aの二等分線と辺BCの交点をDとするとき、線分ADの長さを求める。

## 問題41

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=8$, $AC=5$, $\angle A = 120^\circ$とする。角Aの二等分線と辺BCの交点をDとするとき、線分ADの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、三角形ABCの面積を求める。

(2) 次に、角の二等分線の性質を利用して、BDとCDの比を求める。

(3) 最後に、三角形ABDの面積と三角形ACDの面積の和が三角形ABCの面積に等しいことを利用してADの長さを求める。

三角形ABCの面積Sは、

$S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin A = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 \times \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$

角の二等分線の性質より、BD:CD = AB:AC = 8:5

よって、BD = (8/13)BC, CD = (5/13)BC

ここで、余弦定理より、BCの長さを求める。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos A = 8^2 + 5^2 - 2 \times 8 \times 5 \times \cos 120^\circ$

$BC^2 = 64 + 25 - 80 \times (-\frac{1}{2}) = 89 + 40 = 129$

$BC = \sqrt{129}$

ゆえに、BD = $(8\sqrt{129})/13$, CD = $(5\sqrt{129})/13$

AD = xとおくと、

$\frac{1}{2} \times AB \times AD \times \sin 60^\circ + \frac{1}{2} \times AC \times AD \times \sin 60^\circ = S$

$\frac{1}{2} \times 8 \times x \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \times 5 \times x \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$

$2\sqrt{3}x + \frac{5\sqrt{3}}{4}x = 10\sqrt{3}$

$\frac{13\sqrt{3}}{4} x = 10\sqrt{3}$

$x = \frac{40}{13}$

3. 最終的な答え

ADの長さは $\frac{40}{13}$ である。

## 問題42

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=2$, $BC=3$, $CD=1$, $\angle ABC = 60^\circ$ とする。ACの長さ、ADの長さ、四角形ABCDの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、三角形ABCにおいて余弦定理を用いてACの長さを求める。

(2) 次に、四角形ABCDが円に内接することから、$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ を利用する。三角形ACDにおいて余弦定理を用いてADの長さを求める。

(3) 四角形ABCDの面積は、三角形ABCの面積と三角形ACDの面積の和である。

三角形ABCにおいて、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos 60^\circ = 2^2 + 3^2 - 2 \times 2 \times 3 \times \frac{1}{2} = 4 + 9 - 6 = 7$

$AC = \sqrt{7}$

三角形ACDにおいて、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \times AD \times CD \times \cos 120^\circ$

$7 = AD^2 + 1^2 - 2 \times AD \times 1 \times (-\frac{1}{2})$

$AD^2 + AD - 6 = 0$

$(AD + 3)(AD - 2) = 0$

$AD = 2$ (AD>0なので)

三角形ABCの面積は、

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

三角形ACDの面積は、

$S_{ACD} = \frac{1}{2} \times AD \times CD \times \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

四角形ABCDの面積は、

$S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ACD} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) ACの長さは $\sqrt{7}$ である。

(2) ADの長さは 2 である。

(3) 四角形ABCDの面積は $2\sqrt{3}$ である。