図に示された三角形の面積を求める問題です。大きい三角形は、底辺が $9 + a$ で高さが $12\sqrt{2}$ の三角形と、斜辺が $24$ の直角二等辺三角形に分割されています。

1. 問題の内容

図に示された三角形の面積を求める問題です。大きい三角形は、底辺が $9 + a$ で高さが $12\sqrt{2}$ の三角形と、斜辺が $24$ の直角二等辺三角形に分割されています。

2. 解き方の手順

まず、大きい三角形の面積を計算するために、$a$ の値を求めます。

大きい三角形の底辺にある角は $135^\circ$ なので、その隣の角は $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$ です。小さい三角形は直角二等辺三角形なので、$a = 12\sqrt{2}$ となります。

大きい三角形の面積は、底辺を $9 + 12\sqrt{2}$、高さを $12\sqrt{2}$ とすると、

$$\frac{1}{2} \times (9 + 12\sqrt{2}) \times 12\sqrt{2} = (9 + 12\sqrt{2}) \times 6\sqrt{2} = 54\sqrt{2} + 144$$

次に、斜辺が24の直角二等辺三角形の面積を求めます。直角二等辺三角形の等しい辺の長さを $x$ とすると、$x^2 + x^2 = 24^2$ が成り立ちます。

$$2x^2 = 576$$

$$x^2 = 288$$

したがって、$x = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}$ です。直角二等辺三角形の面積は、

$$\frac{1}{2} \times 12\sqrt{2} \times 12\sqrt{2} = 144$$

したがって、求める面積は、大きい三角形の面積から直角二等辺三角形の面積を引いたものとして与えられます。

$$(54\sqrt{2} + 144) - 144 = 54\sqrt{2}$$

3. 最終的な答え

$54\sqrt{2}$