与えられた三角形の面積を求める問題です。三角形の底辺の長さが6、底角が75度と45度であることがわかっています。

1. 問題の内容

与えられた三角形の面積を求める問題です。三角形の底辺の長さが6、底角が75度と45度であることがわかっています。

2. 解き方の手順

三角形の面積を求めるには、まず高さを求める必要があります。

1. 三角形の頂点から底辺に垂線を下ろし、底辺を2つの部分に分けます。それぞれを$x$と$y$とします。したがって、$x + y = 6$です。

2. 垂線の長さを$h$とします。

3. $\tan 75^\circ = \frac{h}{x}$より、$x = \frac{h}{\tan 75^\circ}$

4. $\tan 45^\circ = \frac{h}{y}$より、$y = \frac{h}{\tan 45^\circ}$

5. $x + y = 6$に代入すると、

$\frac{h}{\tan 75^\circ} + \frac{h}{\tan 45^\circ} = 6$

6. $\tan 45^\circ = 1$なので、

$\frac{h}{\tan 75^\circ} + h = 6$

7. $h(\frac{1}{\tan 75^\circ} + 1) = 6$

8. $\tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3}$なので、$\frac{1}{\tan 75^\circ} = 2 - \sqrt{3}$

9. $h(2 - \sqrt{3} + 1) = 6$

1

0. $h(3 - \sqrt{3}) = 6$

1

1. $h = \frac{6}{3 - \sqrt{3}} = \frac{6(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{6(3 + \sqrt{3})}{9 - 3} = \frac{6(3 + \sqrt{3})}{6} = 3 + \sqrt{3}$

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2. 三角形の面積は$\frac{1}{2} \times \text{底辺} \times \text{高さ}$で求められるので、

$\text{面積} = \frac{1}{2} \times 6 \times (3 + \sqrt{3}) = 3 \times (3 + \sqrt{3}) = 9 + 3\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$9 + 3\sqrt{3}$