点A(4, 3)、点B(4, -4)と直線$l: y = 3x$がある。点Oは原点である。 (i) 三角形OABの面積を求める。 (ii) 直線mの式を求める。ただし、直線mは点Aを通り、直線lに平行である。 (iii) 直線m上にy座標が負である点Cを、三角形OABと三角形OACの面積が等しくなるように取る。点Cの座標を求める。

1. 問題の内容

点A(4, 3)、点B(4, -4)と直線$l: y = 3x$がある。点Oは原点である。

(i) 三角形OABの面積を求める。

(ii) 直線mの式を求める。ただし、直線mは点Aを通り、直線lに平行である。

(iii) 直線m上にy座標が負である点Cを、三角形OABと三角形OACの面積が等しくなるように取る。点Cの座標を求める。

2. 解き方の手順

(i) 三角形OABの面積を求める。

点Aと点Bのx座標が等しいので、線分ABはy軸に平行である。

線分ABの長さは$3 - (-4) = 7$。

三角形OABの底辺を線分ABとすると、高さは原点Oから線分ABまでの距離、つまり点Aまたは点Bのx座標の絶対値である4。

したがって、三角形OABの面積は

$\frac{1}{2} \times 7 \times 4 = 14$

(ii) 直線mの式を求める。

直線mは直線$l: y = 3x$に平行なので、傾きは3である。したがって、直線mの式は$y = 3x + b$と表せる。

直線mは点A(4, 3)を通るので、

$3 = 3 \times 4 + b$

$3 = 12 + b$

$b = -9$

したがって、直線mの式は$y = 3x - 9$

(iii) 点Cの座標を求める。

点Cは直線m上にあるので、$y = 3x - 9$を満たす。

三角形OABと三角形OACの面積が等しいので、

$\frac{1}{2} \times AB \times 4 = \frac{1}{2} \times OC \times h$ここで、hは線分ABと点Cの間の距離である。

三角形OABと三角形OACの面積はともに14である。

三角形OACの底辺をOAと考え、高さをABからのCの距離dとする。三角形OABの底辺をABと考え、高さをOからのABの距離4とする。

面積が等しいので、

$14 = \frac{1}{2} \times 7 \times d = \frac{7}{2} \times d$

$d = 4$

点Cのx座標を$x_C$とすると、点Cから直線ABまでの距離は$|x_C - 4|$となる。

この距離が4なので、$|x_C - 4| = 4$

$x_C - 4 = 4$または$x_C - 4 = -4$

$x_C = 8$または$x_C = 0$

$x_C = 8$のとき、$y_C = 3 \times 8 - 9 = 24 - 9 = 15 > 0$なので不適。

$x_C = 0$のとき、$y_C = 3 \times 0 - 9 = -9 < 0$なので適する。

したがって、点Cの座標は(0, -9)。

3. 最終的な答え

(i) 三角形OABの面積: 14

(ii) 直線mの式: $y = 3x - 9$

(iii) 点Cの座標: (0, -9)