Oを原点とする座標平面上に2点A(4, -4/3), B(m, n)がある。m, nは正の実数であり、OAとOBのなす角は45度で、三角形OABの面積は40/3である。 (1) |OA|、|OB|、m、nを求めよ。 (2) 実数s, tに対し、点Pが$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$, $2s + 3t = 4$を満たしながら動くとき、$\vec{OC} = \Box \vec{OA}$, $\vec{OD} = \Box \vec{OB}$を満たす2点C, Dを取ると、点Pの存在範囲は直線CDである。直線CDの方程式を求めよ。点Aから直線ODに垂線AHを下ろすとき、点Hの座標を求めよ。三角形OAHの面積をS, 三角形OCDの面積をTとするとS/Tを求めよ。

1. 問題の内容

Oを原点とする座標平面上に2点A(4, -4/3), B(m, n)がある。m, nは正の実数であり、OAとOBのなす角は45度で、三角形OABの面積は40/3である。

(1) |OA|、|OB|、m、nを求めよ。

(2) 実数s, tに対し、点Pが$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$, $2s + 3t = 4$を満たしながら動くとき、$\vec{OC} = \Box \vec{OA}$, $\vec{OD} = \Box \vec{OB}$を満たす2点C, Dを取ると、点Pの存在範囲は直線CDである。直線CDの方程式を求めよ。点Aから直線ODに垂線AHを下ろすとき、点Hの座標を求めよ。三角形OAHの面積をS, 三角形OCDの面積をTとするとS/Tを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

|OA|を求める。

$\vec{OA} = (4, -\frac{4}{3})$より、

$|OA| = \sqrt{4^2 + (-\frac{4}{3})^2} = \sqrt{16 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{144 + 16}{9}} = \sqrt{\frac{160}{9}} = \frac{4\sqrt{10}}{3}$

|OB|を求める。

三角形OABの面積は40/3。

$\frac{1}{2}|OA||OB|sin45^\circ = \frac{40}{3}$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4\sqrt{10}}{3} \cdot |OB| \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{40}{3}$

$|OB| = \frac{40}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{1} \cdot \frac{3}{4\sqrt{10}} = \frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \frac{20\sqrt{5}}{5} = 4\sqrt{5}$

m, nを求める。

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |OA||OB|cos45^\circ$

$(4, -\frac{4}{3}) \cdot (m, n) = \frac{4\sqrt{10}}{3} \cdot 4\sqrt{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

$4m - \frac{4}{3}n = \frac{16\sqrt{50}}{3\sqrt{2}} = \frac{16\cdot 5}{3} = \frac{80}{3}$

$12m - 4n = 80$

$3m - n = 20$

$n = 3m - 20$

$|OB|^2 = m^2 + n^2 = 16 \cdot 5 = 80$

$m^2 + (3m - 20)^2 = 80$

$m^2 + 9m^2 - 120m + 400 = 80$

$10m^2 - 120m + 320 = 0$

$m^2 - 12m + 32 = 0$

$(m - 4)(m - 8) = 0$

$m = 4, 8$

m > 0なので、m=4,

8. m = 4のとき、n = 3(4) - 20 = 12 - 20 = -

8. m = 8のとき、n = 3(8) - 20 = 24 - 20 =

4. n > 0より、m = 8, n =

4.

(2)

$2s + 3t = 4$より、$s = 2 - \frac{3}{2}t$

$\vec{OP} = (2 - \frac{3}{2}t)\vec{OA} + t\vec{OB} = 2\vec{OA} + t(-\frac{3}{2}\vec{OA} + \vec{OB})$

$\vec{OC} = 2\vec{OA}$

$\vec{OD} = -\frac{3}{2}\vec{OA} + \vec{OB}$

$\vec{OD} = -\frac{3}{2}(4, -\frac{4}{3}) + (8, 4) = (-6, 2) + (8, 4) = (2, 6)$

C(8, -8/3), D(2, 6)

直線CDの方程式

傾き: $\frac{6 - (-\frac{8}{3})}{2 - 8} = \frac{\frac{26}{3}}{-6} = -\frac{13}{9}$

$y - 6 = -\frac{13}{9}(x - 2)$

$y = -\frac{13}{9}x + \frac{26}{9} + 6 = -\frac{13}{9}x + \frac{26 + 54}{9} = -\frac{13}{9}x + \frac{80}{9}$

直線OD: $y = 3x$

点A(4, -4/3)から直線ODに下ろした垂線AH。

AHはODと直交するから、傾きは-1/3。

$y + \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}(x - 4)$

$y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}x$

AHとODの交点Hの座標を求める。

$3x = -\frac{1}{3}x$

$9x = -x$

$10x = 0$

$x = 0$

これは間違い。傾きが直交するのはAHの傾きを求める際のみ。

点Hは直線OD上にあるから、(x, 3x)とおける。

AHベクトルは (x-4, 3x+4/3)。ODベクトルは (2, 6)。

AHとODは直交するから、内積は0。

$(x-4)2 + (3x+\frac{4}{3})6 = 0$

$2x - 8 + 18x + 8 = 0$

$20x = 0$

$x = 0$

これも間違い。

ODの法線ベクトルは(3, -1)

AH = A + k(3, -1) = (4+3k, -4/3 - k)

HはOD上にあるため、y = 3x

-4/3 - k = 3(4+3k)

-4/3 - k = 12 + 9k

-4/3 - 12 = 10k

-40/3 = 10k

k = -4/3

H(4+3(-4/3), -4/3 - (-4/3)) = (4-4, 0) = (0, 0)

点AからODに垂線を下ろすと、(0, 0)。どうして？

AHの傾きは-1/3なので、y = -1/3 x + b

A(4, -4/3)を通るので、-4/3 = -1/3 * 4 + b

-4/3 = -4/3 + bなのでb=0。

AHはy=-1/3 x。

y=3xとの交点は、3x = -1/3 xなので、x=0。よってHは(0, 0)。

S/Tを求める。

S = 1/2 |OA| |OH| = 0

T = 1/2 |OC| |OD| = 1/2 |2OA| |OD|

OC = 2OAなので、(8, -8/3)。

OD = (2, 6)。

ODの長さは$\sqrt{4+36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$。

OCの長さは2|OA| = $2*\frac{4\sqrt{10}}{3} = \frac{8\sqrt{10}}{3}$。

T = 1/2 * $\frac{8\sqrt{10}}{3} * 2\sqrt{10} sin(45) = 40/3$

面積は0/40/3 = 0。

答え

|OA| = $\frac{4\sqrt{10}}{3}$

|OB| = $4\sqrt{5}$

m = 8

n = 4

OC = 2OA

OD = -3/2 OA + OB

y = -13/9 x + 80/9

H(0, 0)

S/T = 0

3. 最終的な答え

ア: 4

イウ: 10/3

エ: 3

オ: 4

カ: 5

キ: 8

ク: 4

ケ: 2

コ: -3/2

サ: 1

シ: -13/9

スセ: 80

ソ: 9

タ: 0

チ: 1

ツ: 0

テ: 1

ト: 0

ナ: 1