直角三角形ABCにおいて、AB = 5, BC = 3, ∠ACB = 90°である。点Bを中心として三角形ABCを360°回転させたとき、辺ACが通過してできる図形の面積を求める。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、AB = 5, BC = 3, ∠ACB = 90°である。点Bを中心として三角形ABCを360°回転させたとき、辺ACが通過してできる図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、直角三角形ABCについて、三平方の定理を用いて辺ACの長さを計算します。

$AC^2 + BC^2 = AB^2$

$AC^2 + 3^2 = 5^2$

$AC^2 + 9 = 25$

$AC^2 = 16$

$AC = 4$

次に、三角形ABCを点Bを中心に360°回転させたときに、辺ACが通過してできる図形について考えます。これは、半径BAの円から半径BCの円をくり抜いた形になります。

BAを半径とする円の面積は $5^2\pi = 25\pi$

BCを半径とする円の面積は $3^2\pi = 9\pi$

求める図形の面積は、それぞれの円の面積の差ですが、ACが回転してできる図形は、２つの円の面積の差から、三角形の内部の領域が欠けています。この欠けた部分は、ACを軸とする円錐を考えた場合、その底面の円となります。

ここで、∠ABCの大きさを求める必要があります。

$\sin{∠ABC} = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5}$

$\cos{∠ABC} = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5}$

三角形ABCを点Bを中心に回転させると、辺ACが通過する領域はドーナツ状になります。その面積は、半径ABの円の面積から半径BCの円の面積を引いたものになります。

したがって、求める面積は、$25\pi - 9\pi = 16\pi$

3. 最終的な答え

e 16π