Oを原点とする座標平面上に2点A(4, -4/3), B(m, n)がある。m, nは正の実数とする。$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$のなす角が$45^\circ$であり、$\triangle OAB$の面積が$\frac{40}{3}$である。 (1) $|\overrightarrow{OA}|$を求め、m, nの値を求める。 (2) 実数s, tに対して、点Pが$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$, $2s + 3t = 4$を満たしながら動くとき、$\overrightarrow{OC} = k\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OD} = l\overrightarrow{OB}$となるような点C, Dをとる。点Pの存在範囲である直線CDの方程式を求める。点Aから直線ODに下ろした垂線の足をHとするとき、点Hの座標を求める。$\triangle OAH$の面積をS, $\triangle OCD$の面積をTとするとき、$\frac{S}{T}$の値を求める。

1. 問題の内容

Oを原点とする座標平面上に2点A(4, -4/3), B(m, n)がある。m, nは正の実数とする。$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$のなす角が$45^\circ$であり、$\triangle OAB$の面積が$\frac{40}{3}$である。

(1) $|\overrightarrow{OA}|$を求め、m, nの値を求める。

(2) 実数s, tに対して、点Pが$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$, $2s + 3t = 4$を満たしながら動くとき、$\overrightarrow{OC} = k\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OD} = l\overrightarrow{OB}$となるような点C, Dをとる。点Pの存在範囲である直線CDの方程式を求める。点Aから直線ODに下ろした垂線の足をHとするとき、点Hの座標を求める。$\triangle OAH$の面積をS, $\triangle OCD$の面積をTとするとき、$\frac{S}{T}$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{4^2 + (-\frac{4}{3})^2} = \sqrt{16 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{144+16}{9}} = \sqrt{\frac{160}{9}} = \frac{4\sqrt{10}}{3}$

よって、ア=4, イウ=10, エ=3

$\triangle OAB$の面積は$\frac{1}{2} |\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}| \sin{45^\circ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\sqrt{10}}{3} \cdot |\overrightarrow{OB}| \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{5}}{3} |\overrightarrow{OB}|$

これが$\frac{40}{3}$に等しいので、$\frac{\sqrt{5}}{3} |\overrightarrow{OB}| = \frac{40}{3}$

$|\overrightarrow{OB}| = \frac{40}{\sqrt{5}} = 8\sqrt{5}$

よって、オ=8, カ=5

$|\overrightarrow{OB}|^2 = m^2 + n^2 = (8\sqrt{5})^2 = 320$

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}| \cos{45^\circ} = \frac{4\sqrt{10}}{3} \cdot 8\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{32\sqrt{100}}{6} = \frac{32 \cdot 10}{6} = \frac{160}{3}$

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 4m - \frac{4}{3}n = \frac{160}{3}$

$12m - 4n = 160$

$3m - n = 40$

$n = 3m - 40$

$m^2 + (3m-40)^2 = 320$

$m^2 + 9m^2 - 240m + 1600 = 320$

$10m^2 - 240m + 1280 = 0$

$m^2 - 24m + 128 = 0$

$(m - 8)(m - 16) = 0$

$m = 8, 16$

$m = 8$のとき、$n = 3(8) - 40 = 24 - 40 = -16$. これはnが正の実数という条件に反する。

$m = 16$のとき、$n = 3(16) - 40 = 48 - 40 = 8$

よって、キ=16, ク=8

(2)

$2s + 3t = 4$より、$s = 2 - \frac{3}{2}t$

$\overrightarrow{OP} = (2 - \frac{3}{2}t) \overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OA} + t(-\frac{3}{2}\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$

$t=0$のとき、$\overrightarrow{OP} = 2\overrightarrow{OA}$。つまり、Cは$2\overrightarrow{OA}$であるから、ケ=2

$-\frac{3}{2}\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \frac{2}{3}(\overrightarrow{OB} - \frac{3}{2}\overrightarrow{OA})$

$t= \frac{4}{3}$のとき、$2s + 3t = 4$に代入すると、$2s + 3 \cdot \frac{4}{3} = 4$となるので、$s=0$

$\overrightarrow{OP} = \frac{4}{3} \overrightarrow{OB}$。つまり、Dは$\frac{4}{3}\overrightarrow{OB}$であるから、コ=4, サ=3

$\overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OA} = (8, -\frac{8}{3})$

$\overrightarrow{OD} = \frac{4}{3} \overrightarrow{OB} = \frac{4}{3}(16, 8) = (\frac{64}{3}, \frac{32}{3})$

直線CDの方程式を求める。

傾きは$\frac{\frac{32}{3} - (-\frac{8}{3})}{\frac{64}{3} - 8} = \frac{\frac{40}{3}}{\frac{40}{3}} = 1$

$y = x + b$とおき、$(8, -\frac{8}{3})$を通るので、$-\frac{8}{3} = 8 + b$

$b = -\frac{8}{3} - 8 = -\frac{8}{3} - \frac{24}{3} = -\frac{32}{3}$

よって、$y = x - \frac{32}{3}$。シ=1, スセ=32, ソ=3

点A(4, -4/3)から直線$x - y - \frac{32}{3} = 0$に下ろした垂線の足Hを求める。

直線AHの方程式は、$y + \frac{4}{3} = -1(x - 4)$

$y = -x + 4 - \frac{4}{3} = -x + \frac{8}{3}$

$x - (-x + \frac{8}{3}) - \frac{32}{3} = 0$

$2x - \frac{40}{3} = 0$

$x = \frac{20}{3}$

$y = -\frac{20}{3} + \frac{8}{3} = -\frac{12}{3} = -4$

よって、H$(\frac{20}{3}, -4)$。タ=20, チ=3, ツ= -4, テ=1

$\triangle OAH$の面積Sは$\frac{1}{2} |\frac{20}{3}(0) - 0(-\frac{4}{3}) + 0(-4) - \frac{20}{3} \cdot 0 + 0 \cdot \frac{4}{3} - 4 \cdot 0| = 0$

これはおかしいので、$\frac{1}{2} |\frac{20}{3} \cdot (-\frac{4}{3}) - (-4) \cdot 4| = \frac{1}{2} |-\frac{80}{9} + 16| = \frac{1}{2} |\frac{144-80}{9}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{64}{9} = \frac{32}{9}$

$\triangle OCD$の面積Tは$\frac{1}{2}|8(\frac{32}{3}) - \frac{8}{3}(\frac{64}{3})| = \frac{1}{2} |\frac{256}{3} - \frac{512}{9}| = \frac{1}{2} |\frac{768-512}{9}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{256}{9} = \frac{128}{9}$

$\frac{S}{T} = \frac{\frac{32}{9}}{\frac{128}{9}} = \frac{32}{128} = \frac{1}{4}$

ト=1, ナ=4

3. 最終的な答え

ア=4, イウ=10, エ=3, オ=8, カ=5, キ=16, ク=8, ケ=2, コ=4, サ=3, シ=1, スセ=32, ソ=3, タ=20, チ=3, ツ=-4, テ=1, ト=1, ナ=4