直径が2である円Oにおいて、直径ABをBの方向に延長し、$BC = 2BA$となる点Cをとる。点Cから円Oに接線CTを引き、接点をTとする。このとき、線分CTとATの長さを求める。

1. 問題の内容

直径が2である円Oにおいて、直径ABをBの方向に延長し、$BC = 2BA$となる点Cをとる。点Cから円Oに接線CTを引き、接点をTとする。このとき、線分CTとATの長さを求める。

2. 解き方の手順

* 円Oの半径を$r$とする。直径が2なので、$r = 1$である。

* $BA = 2r = 2$だから、$BC = 2BA = 4$となる。したがって、$OC = OB + BC = r + 4 = 1 + 4 = 5$である。

* CTは円Oの接線なので、$\angle OTC = 90^\circ$である。よって、三角形OTCは直角三角形である。

* 三平方の定理より、$OC^2 = OT^2 + CT^2$が成り立つ。したがって、$CT^2 = OC^2 - OT^2 = 5^2 - 1^2 = 25 - 1 = 24$である。よって、$CT = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$である。

* 次にATの長さを求める。円の中心OからATに垂線ODを下ろす。すると、三角形OTAは二等辺三角形であるため、DはATの中点となる。

* 三角形OTAにおいて、$\angle AOT = \theta$とおく。三角形OTCにおいて、$OT = 1, OC = 5$であるので、$\cos \angle TOC = \frac{OT}{OC} = \frac{1}{5}$。よって、$\angle TOC = \arccos{\frac{1}{5}}$。また、$\angle AOC = \pi$であるため、$\angle AOT + \angle TOC = \pi$から、$\angle AOT = \theta = \pi - \arccos{\frac{1}{5}}$。

* 三角形ODAにおいて、$OA = 1, OD = OA \cos{\frac{\theta}{2}} = \cos{\frac{\theta}{2}}$である。また、$AD = OA \sin{\frac{\theta}{2}} = \sin{\frac{\theta}{2}}$である。よって、$AT = 2AD = 2\sin{\frac{\theta}{2}} = 2\sin{\frac{\pi - \arccos{\frac{1}{5}} }{2}}$

* 半角の公式を用いて、$AT = 2\sqrt{\frac{1 - \cos (\pi - \arccos{\frac{1}{5}})}{2}}$を計算する。$\cos (\pi - \arccos{\frac{1}{5}}) = -\cos (\arccos{\frac{1}{5}}) = -\frac{1}{5}$であるから、$AT = 2\sqrt{\frac{1 - (-\frac{1}{5})}{2}} = 2\sqrt{\frac{6}{10}} = 2\sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{2\sqrt{15}}{5}$。

3. 最終的な答え

$CT = 2\sqrt{6}$

$AT = \frac{2\sqrt{15}}{5}$