三角形OABにおいて、辺OAを2:1に内分する点をC, 辺OBを1:3に内分する点をD, 辺ABを3:2に内分する点をEとする。 (1) 0 < t < 1 を満たす実数 t に対し、線分CDを t : (1 - t) に内分する点をPとする。 (2) $OA = 3$, $OB = 2$, $OA \cdot OB = \frac{7}{3}$ とする。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAを2:1に内分する点をC, 辺OBを1:3に内分する点をD, 辺ABを3:2に内分する点をEとする。

(1) 0 < t < 1 を満たす実数 t に対し、線分CDを t : (1 - t) に内分する点をPとする。

(2) $OA = 3$, $OB = 2$, $OA \cdot OB = \frac{7}{3}$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{OC}, \vec{OD}, \vec{OE}$ をそれぞれ $\vec{OA}, \vec{OB}$ で表す。

$\vec{OC} = \frac{2}{3} \vec{OA}$

$\vec{OD} = \frac{1}{4} \vec{OB}$

$\vec{OE} = \frac{3 \vec{OB} + 2 \vec{OA}}{3 + 2} = \frac{2}{5} \vec{OA} + \frac{3}{5} \vec{OB}$

(1) 線分CDを $t : (1-t)$ に内分する点をPとすると、

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OC} + t \vec{OD} = (1-t) \frac{2}{3} \vec{OA} + t \frac{1}{4} \vec{OB} = \frac{2(1-t)}{3} \vec{OA} + \frac{t}{4} \vec{OB}$

3点O, P, Eが同一直線上にあるとき、$\vec{OP} = k\vec{OE}$ となる実数 $k$ が存在する。

$\vec{OP} = k (\frac{2}{5} \vec{OA} + \frac{3}{5} \vec{OB}) = \frac{2k}{5} \vec{OA} + \frac{3k}{5} \vec{OB}$

$\frac{2(1-t)}{3} = \frac{2k}{5}$ かつ $\frac{t}{4} = \frac{3k}{5}$

$1-t = \frac{3k}{5}$ かつ $t = \frac{12k}{5}$

$1 - \frac{12k}{5} = \frac{3k}{5}$

$1 = \frac{15k}{5} = 3k$

$k = \frac{1}{3}$

$t = \frac{12}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{5}$

このとき、$\vec{OP} = \frac{1}{3} \vec{OE}$

(2)

$\vec{OE} = \frac{2}{5} \vec{OA} + \frac{3}{5} \vec{OB}$

$|\vec{OE}|^2 = (\frac{2}{5})^2 |\vec{OA}|^2 + 2 \frac{2}{5} \frac{3}{5} (\vec{OA} \cdot \vec{OB}) + (\frac{3}{5})^2 |\vec{OB}|^2$

$= \frac{4}{25} (3^2) + \frac{12}{25} \times \frac{7}{3} + \frac{9}{25} (2^2) = \frac{36}{25} + \frac{28}{25} + \frac{36}{25} = \frac{100}{25} = 4$

$|\vec{OE}| = 2$

$\vec{OQ} = \frac{5}{2} \vec{OE}$

$\triangle QCD = |\frac{1}{2} (\vec{OC} \times \vec{OQ} - \vec{OD} \times \vec{OQ})|$

$= |\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \vec{OA} \times \frac{5}{2} \vec{OE} - \frac{1}{4} \vec{OB} \times \frac{5}{2} \vec{OE})|$

$= |\frac{1}{2} (\frac{5}{3} \vec{OA} \times (\frac{2}{5} \vec{OA} + \frac{3}{5} \vec{OB}) - \frac{5}{8} \vec{OB} \times (\frac{2}{5} \vec{OA} + \frac{3}{5} \vec{OB}))|$

$= |\frac{1}{2} (\frac{1}{1} \vec{OA} \times \vec{OB} + \frac{1}{2} \vec{OB} \times \vec{OA})|$

$= |\frac{1}{2} ( \frac{11}{16})|$

$\triangle OAB = |\frac{1}{2}(\vec{OA} \times \vec{OB})|$

$\triangle QCD = \frac{5}{3}$

3. 最終的な答え

ア: 2, イ: 3, ウ: 1, エ: 4, オ: 2, カ: 5, キ: 3

ク: 2, ケ: 3, コ: 1, サ: 1, シ: 4, ス: 4, セ: 5, ソ: 1, タ: 3

チ: 4, ツ: 2, テ: 5, ナ: 2, ニ: 5, ヌ: 2, ネ: 5