直径が2の円Oにおいて、直径ABをBの方向に延長し、$BC = 2BA$となる点Cを取る。点Cから円Oに接線CTを引き、その接点をTとする。線分CT, ATの長さを求めよ。

1. 問題の内容

直径が2の円Oにおいて、直径ABをBの方向に延長し、$BC = 2BA$となる点Cを取る。点Cから円Oに接線CTを引き、その接点をTとする。線分CT, ATの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

円Oの半径をrとすると、$r = 1$である。

$AB = 2r = 2$なので、$BC = 2BA = 2 * 2 = 4$となる。

$OC = OB + BC = r + BC = 1 + 4 = 5$となる。

CTは円Oの接線なので、三角形OCTは直角三角形であり、$OT \perp CT$である。

したがって、三平方の定理より、$OC^2 = OT^2 + CT^2$が成り立つ。

$OT = r = 1$なので、$5^2 = 1^2 + CT^2$、つまり$CT^2 = 25 - 1 = 24$となる。

よって、$CT = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$となる。

次に、ATの長さを求める。

円Oの中心をOとすると、$OA = OT = 1$である。また、$OT \perp CT$である。

$\angle OAT = \theta$とおくと、三角形OCTにおいて、$CT = 2\sqrt{6}$, $OT=1$, $OC = 5$である。

$\cos \angle AOC = \frac{OT}{OC} = \frac{1}{5}$

$\angle AOT = \pi - \angle COT$ (ただし$\pi$は180度)

余弦定理より、$AT^2 = OA^2 + OT^2 - 2OA \cdot OT \cos \angle AOT$

$\angle AOT = \alpha$とおくと、$\cos \alpha = \frac{1}{5}$である。

$\cos \angle AOB = - \cos \angle COB = - \frac{1}{5}$

$\angle AOT = \pi - \angle COT$なので、$\cos \angle AOT = - \cos \angle COT = - \frac{1}{5}$

したがって、$AT^2 = 1^2 + 1^2 - 2*1*1*(-\frac{1}{5}) = 1 + 1 + \frac{2}{5} = 2 + \frac{2}{5} = \frac{12}{5}$

$AT = \sqrt{\frac{12}{5}} = \sqrt{\frac{60}{25}} = \frac{2\sqrt{15}}{5}$

3. 最終的な答え

$CT = 2\sqrt{6}$

$AT = \frac{2\sqrt{15}}{5}$