三角形OABに関する問題で、条件(1) $AB = 2OA$と条件(2) $\angle AOB = \frac{2}{3}\pi$が与えられています。これらの条件と複素数を用いて、いくつかの空欄を埋める必要があります。

1. 問題の内容

三角形OABに関する問題で、条件(1) $AB = 2OA$と条件(2) $\angle AOB = \frac{2}{3}\pi$が与えられています。これらの条件と複素数を用いて、いくつかの空欄を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$AB = 2OA$なので、$AB = |\beta - \alpha|$ および $OA = |\alpha|$ と表せます。

したがって、$|\beta - \alpha| = 2|\alpha|$ が成り立ちます。

これより、$\frac{|\beta - \alpha|}{|\alpha|} = 2$ となります。$\frac{|\beta - \alpha|}{|\alpha|} = |\frac{\beta}{\alpha} - 1|$ なので、 $|\frac{\beta}{\alpha} - 1| = 2$ となります。$\frac{\beta}{\alpha} = z$ とすると、$|z - 1| = 2$ が成り立ちます。

ゆえに、$z$は複素数平面上で点$1$を中心とする半径$2$の円周上にあります。

次に、$\beta = \alpha z$であるから、条件(2)より$|z| = r$ ($r > 0$)とおくと、$|z| = |\frac{\beta}{\alpha}| = \frac{|\beta|}{|\alpha|}$となります。$|\beta| = |\alpha z| = |\alpha||z|$.

$|\alpha| \neq 0$なので、$|z| = r$とおくと$r = \frac{AB}{OA}=\frac{2OA}{OA}=2$となります。

$\angle AOB = \frac{2}{3}\pi$であるから、$z = 2(\cos(\frac{2}{3}\pi) + i\sin(\frac{2}{3}\pi)) = 2(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 + i\sqrt{3}$

$z = x + yi$と表すと、条件(1)と(2)を満たすzは、

$z = \frac{\beta}{\alpha}$を満たし、$|\beta - \alpha| = 2|\alpha|$および$\angle AOB = \frac{2}{3}\pi$でなければなりません。

先ほど$z = -1 + i\sqrt{3}$であることがわかったので、x = -1, y = $\sqrt{3}$となります。y = $\sqrt{3}|x|$ x < 0が成り立ちます。

$\beta/\alpha = z = -1 + i\sqrt{3}$なので

$z = -1 + \sqrt{3}i$

3. 最終的な答え

カ：2

キ：1

ク：1

ケ：2

コサ：-1

ス：$\sqrt{3}$

セ：0

ソ：$\sqrt{3}$

ス：1

タ：-1

チッ：3

テ：1

ト：0

ナニ：0

ヌ：1