正五角形の辺の長さの比を利用して、$sin18^\circ$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

正五角形の辺の長さの比を利用して、$sin18^\circ$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

正五角形の一つの内角は $108^\circ$ です。正五角形の対角線を引くと、黄金比が現れます。

正五角形の1辺の長さを1とします。

正五角形の対角線の長さは、黄金比$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$になります。

対角線によって分割された三角形は二等辺三角形であり、$36^\circ$,$72^\circ$,$72^\circ$の角を持つ三角形と、$36^\circ$,$36^\circ$,$108^\circ$の角を持つ三角形です。

二等辺三角形($36^\circ$,$72^\circ$,$72^\circ$)から垂線を下ろし、底辺を2等分します。

すると、直角三角形ができるので、$sin18^\circ = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} = \frac{1}{1+\sqrt{5}}$となります。

$\frac{1}{1+\sqrt{5}}$を有理化します。

$\frac{1}{1+\sqrt{5}} = \frac{1-\sqrt{5}}{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})} = \frac{1-\sqrt{5}}{1-5} = \frac{1-\sqrt{5}}{-4} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

したがって、$sin18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$