原点を中心とする半径1の球面$S$上に2点$A(1,0,0)$と$B(a,\sqrt{1-a^2},0)$がある。ただし、$a$は$-1<a<1$を満たす実数とする。球面$S$上の点$C(x, y, z)$について、$|\overrightarrow{OC}|^2$を求め、それをベクトル$\overrightarrow{OC}$の成分を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

原点を中心とする半径1の球面$S$上に2点$A(1,0,0)$と$B(a,\sqrt{1-a^2},0)$がある。ただし、$a$は$-1<a<1$を満たす実数とする。球面$S$上の点$C(x, y, z)$について、$|\overrightarrow{OC}|^2$を求め、それをベクトル$\overrightarrow{OC}$の成分を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

点$C(x, y, z)$が球面$S$上にあるとき、原点$O$から点$C$までの距離は球の半径に等しくなります。球の半径は1であるため、$|\overrightarrow{OC}| = 1$ となります。

したがって、$|\overrightarrow{OC}|^2 = 1^2 = 1$ です。

また、ベクトル$\overrightarrow{OC}$の成分表示は$\overrightarrow{OC} = (x, y, z)$なので、

$|\overrightarrow{OC}|^2 = x^2 + y^2 + z^2$ となります。

よって、$x^2 + y^2 + z^2 = 1$ となります。

3. 最終的な答え

ア：1