三角形ABCにおいて、$AB=7$, $BC=13$, $CA=8$である。角BACの二等分線と辺BCとの交点をDとする。 (1) 角BACの大きさを求めよ。 (2) 三角形ABCの面積を求めよ。また、三角形ABCの内接円の半径を求めよ。 (3) 三角形の面積について、$△ABC = △ABD + △ACD$が成り立つことを利用して、ADの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=7$, $BC=13$, $CA=8$である。角BACの二等分線と辺BCとの交点をDとする。

(1) 角BACの大きさを求めよ。

(2) 三角形ABCの面積を求めよ。また、三角形ABCの内接円の半径を求めよ。

(3) 三角形の面積について、$△ABC = △ABD + △ACD$が成り立つことを利用して、ADの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いて、$\cos∠BAC$を求める。

$\cos∠BAC = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{7^2 + 8^2 - 13^2}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{49 + 64 - 169}{112} = \frac{-56}{112} = -\frac{1}{2}$

$\cos∠BAC = -\frac{1}{2}$なので、$∠BAC = 120^\circ$

(2) ヘロンの公式を用いて、三角形ABCの面積を求める。

$s = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{7 + 13 + 8}{2} = \frac{28}{2} = 14$

$△ABC = \sqrt{s(s-AB)(s-BC)(s-CA)} = \sqrt{14(14-7)(14-13)(14-8)} = \sqrt{14 \cdot 7 \cdot 1 \cdot 6} = \sqrt{2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^2 \cdot 7^2 \cdot 3} = 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{3} = 14\sqrt{3}$

内接円の半径rを求める。

$△ABC = \frac{1}{2}r(AB + BC + CA)$

$14\sqrt{3} = \frac{1}{2}r(7 + 13 + 8) = \frac{1}{2}r(28) = 14r$

$r = \frac{14\sqrt{3}}{14} = \sqrt{3}$

(3) 角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC = 7:8$

$BD = \frac{7}{7+8}BC = \frac{7}{15} \cdot 13 = \frac{91}{15}$

$DC = \frac{8}{7+8}BC = \frac{8}{15} \cdot 13 = \frac{104}{15}$

$△ABC = △ABD + △ACD$

$\frac{1}{2} AB \cdot AC \sin{∠BAC} = \frac{1}{2} AB \cdot AD \sin{\frac{∠BAC}{2}} + \frac{1}{2} AC \cdot AD \sin{\frac{∠BAC}{2}}$

$\frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot \sin{120^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot AD \cdot \sin{60^\circ} + \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot AD \cdot \sin{60^\circ}$

$56 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = AD (\frac{7}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{8}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})$

$28\sqrt{3} = AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} (7+8) = AD \cdot \frac{15\sqrt{3}}{4}$

$AD = \frac{28\sqrt{3} \cdot 4}{15\sqrt{3}} = \frac{112}{15}$

3. 最終的な答え

(1) $∠BAC = 120^\circ$

(2) $△ABC = 14\sqrt{3}$, 内接円の半径 = $\sqrt{3}$

(3) $AD = \frac{112}{15}$