三角形 ABC において、$AB = 7$, $BC = 13$, $CA = 8$ とする。角 BAC の二等分線と辺 BC との交点を D とする。 (1) 角 BAC の角度、三角形 ABC の面積、三角形 ABC の内接円の半径を求める。 (2) 三角形 ABC の面積 = 三角形 ABD の面積 + 三角形 ACD の面積が成り立つことを利用して、ADの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形 ABC において、$AB = 7$, $BC = 13$, $CA = 8$ とする。角 BAC の二等分線と辺 BC との交点を D とする。

(1) 角 BAC の角度、三角形 ABC の面積、三角形 ABC の内接円の半径を求める。

(2) 三角形 ABC の面積 = 三角形 ABD の面積 + 三角形 ACD の面積が成り立つことを利用して、ADの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、余弦定理を用いて角 BAC を求める。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{\angle BAC}$

$13^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos{\angle BAC}$

$169 = 49 + 64 - 112 \cos{\angle BAC}$

$169 = 113 - 112 \cos{\angle BAC}$

$56 = -112 \cos{\angle BAC}$

$\cos{\angle BAC} = -\frac{56}{112} = -\frac{1}{2}$

よって、$\angle BAC = 120^\circ$

次に、三角形 ABC の面積を求める。

$S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin{\angle BAC}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot \sin{120^\circ}$

$S = 28 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 14\sqrt{3}$

よって、三角形 ABC の面積は $14\sqrt{3}$ である。

次に、内接円の半径 r を求める。

$S = \frac{1}{2} r (AB + BC + CA)$

$14\sqrt{3} = \frac{1}{2} r (7 + 13 + 8)$

$14\sqrt{3} = \frac{1}{2} r (28)$

$14\sqrt{3} = 14 r$

$r = \sqrt{3}$

よって、内接円の半径は $\sqrt{3}$ である。

(2) 角 BAC の二等分線と辺 BC との交点が D であるので、角の二等分線の性質より、

$BD : DC = AB : AC = 7 : 8$

よって、$BD = \frac{7}{15} BC = \frac{7}{15} \cdot 13 = \frac{91}{15}$

$DC = \frac{8}{15} BC = \frac{8}{15} \cdot 13 = \frac{104}{15}$

三角形 ABC の面積 = 三角形 ABD の面積 + 三角形 ACD の面積より、

$\frac{1}{2} AB \cdot AC \sin{\angle BAC} = \frac{1}{2} AB \cdot AD \sin{\frac{\angle BAC}{2}} + \frac{1}{2} AD \cdot AC \sin{\frac{\angle BAC}{2}}$

$AB \cdot AC \sin{\angle BAC} = AD \sin{\frac{\angle BAC}{2}}(AB + AC)$

$7 \cdot 8 \cdot \sin{120^\circ} = AD \sin{60^\circ}(7 + 8)$

$56 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 15$

$28 \sqrt{3} = AD \cdot \frac{15\sqrt{3}}{2}$

$AD = \frac{28 \sqrt{3} \cdot 2}{15 \sqrt{3}} = \frac{56}{15}$

3. 最終的な答え

$\angle BAC = 120^\circ$

三角形 ABC の面積は $14\sqrt{3}$

内接円の半径は $\sqrt{3}$

$AD = \frac{56}{15}$