点$(2, -3)$を通り、直線$3x - 4y - 1 = 0$に平行な直線の方程式と、垂直な直線の方程式をそれぞれ求めよ。

## 問16

1. 問題の内容

点$(2, -3)$を通り、直線$3x - 4y - 1 = 0$に平行な直線の方程式と、垂直な直線の方程式をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 平行な直線の方程式を求める。

与えられた直線の方程式は$3x - 4y - 1 = 0$である。

この直線に平行な直線の方程式は、$3x - 4y + k = 0$と表せる。

ここで、$k$は定数である。

この直線が点$(2, -3)$を通るので、

$3(2) - 4(-3) + k = 0$

$6 + 12 + k = 0$

$18 + k = 0$

$k = -18$

したがって、平行な直線の方程式は$3x - 4y - 18 = 0$である。

(2) 垂直な直線の方程式を求める。

与えられた直線の方程式は$3x - 4y - 1 = 0$である。

この直線に垂直な直線の方程式は、$4x + 3y + l = 0$と表せる。

ここで、$l$は定数である。

この直線が点$(2, -3)$を通るので、

$4(2) + 3(-3) + l = 0$

$8 - 9 + l = 0$

$-1 + l = 0$

$l = 1$

したがって、垂直な直線の方程式は$4x + 3y + 1 = 0$である。

3. 最終的な答え

平行な直線の方程式：$3x - 4y - 18 = 0$

垂直な直線の方程式：$4x + 3y + 1 = 0$

## 問17

1. 問題の内容

2点$A(-2, 1)$、$B(4, 5)$を結ぶ線分$AB$の垂直二等分線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分$AB$の中点を求める。

中点の座標は、$\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$で与えられる。

したがって、線分$AB$の中点$M$の座標は、

$M\left(\frac{-2 + 4}{2}, \frac{1 + 5}{2}\right) = M(1, 3)$である。

(2) 線分$AB$の傾きを求める。

傾きは、$\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$で与えられる。

線分$AB$の傾き$m$は、

$m = \frac{5 - 1}{4 - (-2)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$である。

(3) 垂直二等分線の傾きを求める。

垂直な直線の傾きは、元の直線の傾きの逆数の符号を反転させたものである。

したがって、垂直二等分線の傾きは$-\frac{3}{2}$である。

(4) 垂直二等分線の方程式を求める。

傾き$-\frac{3}{2}$で点$(1, 3)$を通る直線の方程式は、

$y - y_1 = m(x - x_1)$

$y - 3 = -\frac{3}{2}(x - 1)$

$2(y - 3) = -3(x - 1)$

$2y - 6 = -3x + 3$

$3x + 2y - 9 = 0$

3. 最終的な答え

$3x + 2y - 9 = 0$