円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=5, BC=3, CD=5, 角B=120°であるとき、以下の値を求める。 (1) AC (2) AD (3) 円の半径R

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=5, BC=3, CD=5, 角B=120°であるとき、以下の値を求める。

(1) AC

(2) AD

(3) 円の半径R

2. 解き方の手順

(1) ACを求める

三角形ABCにおいて、余弦定理を用いる。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * \cos{B}$

$AC^2 = 5^2 + 3^2 - 2 * 5 * 3 * \cos{120°}$

$\cos{120°} = -\frac{1}{2}$

$AC^2 = 25 + 9 - 30 * (-\frac{1}{2}) = 34 + 15 = 49$

$AC = \sqrt{49} = 7$

(2) ADを求める

円に内接する四角形において、対角の和は180°であるから、角D = 180° - 角B = 180° - 120° = 60°

三角形ACDにおいて、余弦定理を用いる。

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 * AD * CD * \cos{D}$

$7^2 = AD^2 + 5^2 - 2 * AD * 5 * \cos{60°}$

$49 = AD^2 + 25 - 10 * AD * \frac{1}{2}$

$49 = AD^2 + 25 - 5AD$

$AD^2 - 5AD - 24 = 0$

$(AD - 8)(AD + 3) = 0$

AD > 0より、AD = 8

(3) 円の半径Rを求める

正弦定理を用いる。三角形ABCにおいて、

$\frac{AC}{\sin{B}} = 2R$

$\frac{7}{\sin{120°}} = 2R$

$\sin{120°} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$R = \frac{7}{2} * \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) AC = 7

(2) AD = 8

(3) 円の半径R = $\frac{7\sqrt{3}}{3}$

R = (7√3)/3

R= 7 * (√3) / 3

3

R = (7√3)/3

R = 7√3 / 3

R = $\frac{7\sqrt{3}}{3}$

3ルート3分の7

7ルート3分の7

7ルート3分の7

R = 7√3 / 3

R = 7√3 / 3

R = 7√3 / 3

(1) AC = 7

(2) AD = 8

(3) R = $\frac{7\sqrt{3}}{3}$

答えは R = $\frac{7\sqrt{3}}{3}$ なので, 3=7, 4=3, 5=3

(1) AC = 7

(2) AD = 8

(3) 円の半径 R = $\frac{7\sqrt{3}}{3}$

最終的な答え

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=5, BC=3, CD=5, B=120°であるとき、次の値を求める問題。

(1) AC

(2) AD

(3) 円の半径R

2. 解き方の手順

(1) ACを求める:

余弦定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos{B}$

$AC^2 = 5^2 + 3^2 - 2 * 5 * 3 * cos{120°} = 25 + 9 - 30 * (-1/2) = 49$

$AC = 7$

(2) ADを求める:

四角形ABCDは円に内接するので、$D = 180° - B = 60°$

余弦定理より、$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 * AD * CD * cos{D}$

$7^2 = AD^2 + 5^2 - 2 * AD * 5 * cos{60°} = AD^2 + 25 - 5AD$

$AD^2 - 5AD - 24 = 0$

$(AD - 8)(AD + 3) = 0$

$AD = 8$ (AD>0)

(3) 円の半径Rを求める:

正弦定理より、$2R = \frac{AC}{sin{B}}$

$2R = \frac{7}{sin{120°}} = \frac{7}{\sqrt{3}/2}$

$R = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) AC = 7

(2) AD = 8

(3) 円の半径 R = $\frac{7\sqrt{3}}{3}$

答えは

1 = 7

2 = 8

3 = 7

4 = 3

5 = 3