(1) 2点 A(-2, 3), B(4, 5) 間の距離を求める。 (2) 円の中心 O から 10cm の距離にある点 A から、その円に接線をひき、接点を T とする。線分 AT の長さが 8cm のときの円の半径を求める。 (3) 底面の半径が 3cm, 母線の長さが 4cm の円錐の高さを求める。 (4) 右の図のように、直方体 ABCD-EFGH の表面上に、点 A から辺 BC を通って点 G まで糸をかける。この糸が最も短くなるようにかけたとき、糸の長さを求める。

1. 問題の内容

(1) 2点 A(-2, 3), B(4, 5) 間の距離を求める。

(2) 円の中心 O から 10cm の距離にある点 A から、その円に接線をひき、接点を T とする。線分 AT の長さが 8cm のときの円の半径を求める。

(3) 底面の半径が 3cm, 母線の長さが 4cm の円錐の高さを求める。

(4) 右の図のように、直方体 ABCD-EFGH の表面上に、点 A から辺 BC を通って点 G まで糸をかける。この糸が最も短くなるようにかけたとき、糸の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 2点間の距離の公式を使う。

2点 A($x_1$, $y_1$), B($x_2$, $y_2$) 間の距離は $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ で求められる。

A(-2, 3), B(4, 5) なので、距離は $\sqrt{(4 - (-2))^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

(2) 円の中心 O, 円外の点 A, 接点 T について、三角形 OAT は直角三角形になる。

OA = 10cm, AT = 8cm なので、三平方の定理より、

$OT^2 + AT^2 = OA^2$

$OT^2 + 8^2 = 10^2$

$OT^2 = 100 - 64 = 36$

$OT = 6$

OT は円の半径なので、半径は 6cm。

(3) 円錐の高さを h とすると、三平方の定理より、

$h^2 + 3^2 = 4^2$

$h^2 = 16 - 9 = 7$

$h = \sqrt{7}$

(4) 直方体の展開図を考える。点 A から点 G までの最短距離は、展開図上で A と G を結ぶ直線になる。

ABCG を展開すると、AG の長さは、$\sqrt{(4+5)^2 + 6^2} = \sqrt{9^2 + 6^2} = \sqrt{81+36} = \sqrt{117} = \sqrt{9 \times 13} = 3\sqrt{13}$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{10}$

(2) 6 cm

(3) $\sqrt{7}$ cm

(4) $3\sqrt{13}$ cm