一辺の長さが6である正四面体ABCDにおいて、辺AB上に $AP:PB = 2:1$ となる点P、辺BC上に $BQ:QC = 2:1$ となる点Q、辺CD上に $CR:RD = 1:1$ となる点Rをとる。点P, Q, Rを通る平面が辺ADと交わる点をSとする。また、直線PQと直線ACの交点をTとする。このとき、線分CTの長さと線分ASの長さを求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが6である正四面体ABCDにおいて、辺AB上に $AP:PB = 2:1$ となる点P、辺BC上に $BQ:QC = 2:1$ となる点Q、辺CD上に $CR:RD = 1:1$ となる点Rをとる。点P, Q, Rを通る平面が辺ADと交わる点をSとする。また、直線PQと直線ACの交点をTとする。このとき、線分CTの長さと線分ASの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) CTの長さを求める。

まず、点P, Qの座標を設定する。点Aを原点とし、$\vec{AB} = \vec{b}, \vec{AC} = \vec{c}$ とすると、

$\vec{AP} = \frac{2}{3} \vec{b}$

$\vec{AQ} = \vec{AB} + \vec{BQ} = \vec{b} + \frac{2}{3}\vec{BC} = \vec{b} + \frac{2}{3}(\vec{c} - \vec{b}) = \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$

直線PQ上の点をXとすると、

$\vec{AX} = (1 - t) \vec{AP} + t \vec{AQ} = (1 - t) \frac{2}{3} \vec{b} + t (\frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}) = (\frac{2}{3} - \frac{t}{3}) \vec{b} + \frac{2t}{3} \vec{c}$

点Tは直線PQと直線ACの交点なので、点Tは直線AC上にあり、$\vec{AT} = k \vec{c}$ と表せる。

よって、$\frac{2}{3} - \frac{t}{3} = 0$ より $t=2$。

$\vec{AT} = \frac{2(2)}{3} \vec{c} = \frac{4}{3} \vec{c}$

したがって、$CT = AT - AC = \frac{4}{3} AC - AC = \frac{1}{3} AC = \frac{1}{3} (6) = 2$

(2) ASの長さを求める。

$\vec{AR} = \vec{AC} + \vec{CR} = \vec{c} + \frac{1}{2} \vec{CD} = \vec{c} + \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{AC}) = \frac{1}{2} \vec{c} + \frac{1}{2} \vec{d}$

点Sは平面PQR上にあるので、$\vec{AS} = x\vec{AP} + y\vec{AQ} + z\vec{AR}$, $x+y+z=1$ と表せる。

$\vec{AS} = x (\frac{2}{3} \vec{b}) + y (\frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}) + z (\frac{1}{2} \vec{c} + \frac{1}{2} \vec{d}) = (\frac{2}{3} x + \frac{1}{3} y) \vec{b} + (\frac{2}{3} y + \frac{1}{2} z) \vec{c} + \frac{1}{2} z \vec{d}$

$\vec{AS} = k \vec{d}$ と表せるので、$\frac{2}{3} x + \frac{1}{3} y = 0$　及び　$\frac{2}{3} y + \frac{1}{2} z = 0$

$2x+y = 0, 4y+3z = 0, x+y+z=1$

$y = -2x, z = -\frac{4}{3}y = \frac{8}{3} x$

$x-2x+\frac{8}{3}x = 1$

$\frac{5}{3}x = 1$

$x = \frac{3}{5}$

$z = \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{8}{5}$

$\vec{AS} = \frac{1}{2} z \vec{d} = \frac{1}{2} (\frac{8}{5}) \vec{d} = \frac{4}{5} \vec{d}$

したがって、$AS = \frac{4}{5} AD = \frac{4}{5} (6) = \frac{24}{5}$

3. 最終的な答え

(1) CT = 2

(2) AS = $\frac{24}{5}$