関数 $y=ax^2$ ($a \neq 0$) について、与えられた定義域と値域から定数 $a$ の値を求める問題です。 (1) 定義域が $-1 \leq x \leq 2$, 値域が $0 \leq y \leq 2$ (2) 定義域が $-3 \leq x \leq 4$, 値域が $-12 \leq y \leq 0$ (3) 定義域が $-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{3}$, 値域が $0 \leq y \leq 6$

1. 問題の内容

関数 $y=ax^2$ ($a \neq 0$) について、与えられた定義域と値域から定数 $a$ の値を求める問題です。

(1) 定義域が $-1 \leq x \leq 2$, 値域が $0 \leq y \leq 2$

(2) 定義域が $-3 \leq x \leq 4$, 値域が $-12 \leq y \leq 0$

(3) 定義域が $-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{3}$, 値域が $0 \leq y \leq 6$

2. 解き方の手順

(1)

$a>0$ のとき、$x=0$ で最小値0をとり、$x=2$ で最大値2をとる。

$y=ax^2$ に $x=2, y=2$ を代入すると、

$2 = a(2^2) = 4a$

$a = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

このとき、$x=-1$ のとき $y=\frac{1}{2}$ となり、$0 \leq y \leq 2$ を満たす。

$a<0$ のとき、$x=0$ で最大値0をとるので、不適。

(2)

$a<0$ であり、$x=4$ で最小値-12をとる。

$y=ax^2$ に $x=4, y=-12$ を代入すると、

$-12 = a(4^2) = 16a$

$a = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4}$

このとき、$x=-3$ のとき $y=-\frac{3}{4}(-3)^2 = -\frac{27}{4} = -6.75$ となり、 $-12 \leq y \leq 0$ を満たす。

(3)

$a>0$ のとき、$x=\sqrt{3}$ のときに最大値6をとる。

$y=ax^2$ に $x=\sqrt{3}, y=6$ を代入すると、

$6 = a(\sqrt{3})^2 = 3a$

$a = \frac{6}{3} = 2$

このとき、$x=-\sqrt{2}$ のとき $y=2(-\sqrt{2})^2 = 4$ となり、$0 \leq y \leq 6$ を満たす。

$a<0$ のとき、$x=-\sqrt{2}$ のときに最小値をとる。しかし、値域が$0 \leq y \leq 6$なので不適。

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{2}$

(2) $a = -\frac{3}{4}$

(3) $a = 2$