与えられた4つの根号を含む式を簡単にします。 (1) $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$ (2) $\sqrt{9 + \sqrt{56}}$ (3) $\sqrt{6 - 4\sqrt{2}}$ (4) $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$

はい、承知しました。

1. 問題の内容

与えられた4つの根号を含む式を簡単にします。

(1) $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$

(2) $\sqrt{9 + \sqrt{56}}$

(3) $\sqrt{6 - 4\sqrt{2}}$

(4) $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$

根号の中身を$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$の形に変形することを考えます。

$4 + 2\sqrt{3} = 1 + 3 + 2\sqrt{1 \cdot 3} = (\sqrt{1} + \sqrt{3})^2 = (1 + \sqrt{3})^2$

よって、

$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(1 + \sqrt{3})^2} = 1 + \sqrt{3}$

(2) $\sqrt{9 + \sqrt{56}}$

$\sqrt{56} = \sqrt{4 \cdot 14} = 2\sqrt{14}$ なので、

$\sqrt{9 + \sqrt{56}} = \sqrt{9 + 2\sqrt{14}}$

根号の中身を$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$の形に変形することを考えます。

$9 + 2\sqrt{14} = 2 + 7 + 2\sqrt{2 \cdot 7} = (\sqrt{2} + \sqrt{7})^2$

よって、

$\sqrt{9 + \sqrt{56}} = \sqrt{(\sqrt{2} + \sqrt{7})^2} = \sqrt{2} + \sqrt{7}$

(3) $\sqrt{6 - 4\sqrt{2}}$

$4\sqrt{2} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 2\sqrt{8}$ なので、

$\sqrt{6 - 4\sqrt{2}} = \sqrt{6 - 2\sqrt{8}}$

根号の中身を$(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$の形に変形することを考えます。

$6 - 2\sqrt{8} = 2 + 4 - 2\sqrt{2 \cdot 4} = (\sqrt{4} - \sqrt{2})^2 = (2 - \sqrt{2})^2$

よって、

$\sqrt{6 - 4\sqrt{2}} = \sqrt{(2 - \sqrt{2})^2} = 2 - \sqrt{2}$

(4) $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$

二重根号を外すために、$\sqrt{2}$をかけます。

$\sqrt{2}\sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{6 - 2\sqrt{5}}$

根号の中身を$(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$の形に変形することを考えます。

$6 - 2\sqrt{5} = 1 + 5 - 2\sqrt{1 \cdot 5} = (\sqrt{5} - \sqrt{1})^2 = (\sqrt{5} - 1)^2$

$\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = \sqrt{5} - 1$

$\sqrt{3 - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $1 + \sqrt{3}$

(2) $\sqrt{2} + \sqrt{7}$

(3) $2 - \sqrt{2}$

(4) $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}$