反比例のグラフ $y = \frac{8}{x}$ 上に点A(a, 4)がある。 (1) $a$の値を求める。 (2) 点Aを通る比例のグラフの式を求める。 (3) $y = \frac{8}{x}$ のグラフ上で、$x$座標、$y$座標がともに整数である点の個数を求める。

1. 問題の内容

反比例のグラフ $y = \frac{8}{x}$ 上に点A(a, 4)がある。

(1) $a$の値を求める。

(2) 点Aを通る比例のグラフの式を求める。

(3) $y = \frac{8}{x}$ のグラフ上で、$x$座標、$y$座標がともに整数である点の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点A(a, 4)が $y = \frac{8}{x}$ 上にあるので、この式に $x = a$, $y = 4$ を代入する。

$4 = \frac{8}{a}$

両辺に $a$ をかけて、$4a = 8$

両辺を4で割って、$a$を求める。

(2) 直線lは原点を通る比例のグラフなので、$y = bx$ とおく。

直線lは点A(a, 4)を通るので、(1)で求めた$a$の値を代入して、点Aの座標(2, 4)を代入する。

$4 = b \times 2$

$b = 2$

したがって、直線lの式は$y = 2x$となる。

(3) $y = \frac{8}{x}$ のグラフ上で、$x$座標、$y$座標がともに整数である点を求める。

$x$が整数のとき、$y = \frac{8}{x}$ も整数となるためには、$x$は8の約数でなければならない。

8の約数は、1, 2, 4, 8である。また、負の約数も考えられるので、-1, -2, -4, -8も含む。

したがって、xがとりうる値は、-8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8の8個である。

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$

(2) $y = 2x$

(3) 8個