以下の二次関数のグラフの頂点の座標を求めます。 (1) $y = 2(x+3)^2 - 3$ (2) $y = \frac{1}{3}x^2 + 9$ (3) $y = x^2 - 6x + 3$ (4) $y = x^2 - 5x + 4$

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

**Step 2**

1. 問題の内容

以下の二次関数のグラフの頂点の座標を求めます。

(1) $y = 2(x+3)^2 - 3$

(2) $y = \frac{1}{3}x^2 + 9$

(3) $y = x^2 - 6x + 3$

(4) $y = x^2 - 5x + 4$

2. 解き方の手順

(1) $y = 2(x+3)^2 - 3$ は、平方完成された形です。頂点の座標は$(-3, -3)$です。

(2) $y = \frac{1}{3}x^2 + 9$ は、$y = \frac{1}{3}(x-0)^2 + 9$ と変形できます。頂点の座標は$(0, 9)$です。

(3) $y = x^2 - 6x + 3$ を平方完成させます。

$y = (x^2 - 6x) + 3$

$y = (x^2 - 6x + 9 - 9) + 3$

$y = (x - 3)^2 - 9 + 3$

$y = (x - 3)^2 - 6$

頂点の座標は$(3, -6)$です。

(4) $y = x^2 - 5x + 4$ を平方完成させます。

$y = (x^2 - 5x) + 4$

$y = (x^2 - 5x + (\frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2) + 4$

$y = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + 4$

$y = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + \frac{16}{4}$

$y = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{9}{4}$

頂点の座標は$(\frac{5}{2}, -\frac{9}{4})$です。

3. 最終的な答え

(1) $(-3, -3)$

(2) $(0, 9)$

(3) $(3, -6)$

(4) $(\frac{5}{2}, -\frac{9}{4})$

**Step 3**

1. 問題の内容

以下の二次関数のグラフの頂点の座標を求めます。

(1) $y = -2x^2 + 6x - 9$

(2) $y = \frac{1}{2}x^2 - 3x + 1$

(3) $y = 4x^2 + 2x - 1$

(4) $y = -\frac{1}{3}x^2 - \frac{8}{3}x + \frac{1}{3}$

2. 解き方の手順

(1) $y = -2x^2 + 6x - 9$ を平方完成させます。

$y = -2(x^2 - 3x) - 9$

$y = -2(x^2 - 3x + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2) - 9$

$y = -2(x - \frac{3}{2})^2 + 2 \cdot \frac{9}{4} - 9$

$y = -2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} - \frac{18}{2}$

$y = -2(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2}$

頂点の座標は$(\frac{3}{2}, -\frac{9}{2})$です。

(2) $y = \frac{1}{2}x^2 - 3x + 1$ を平方完成させます。

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 6x) + 1$

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 6x + 9 - 9) + 1$

$y = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - \frac{9}{2} + 1$

$y = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - \frac{9}{2} + \frac{2}{2}$

$y = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - \frac{7}{2}$

頂点の座標は$(3, -\frac{7}{2})$です。

(3) $y = 4x^2 + 2x - 1$ を平方完成させます。

$y = 4(x^2 + \frac{1}{2}x) - 1$

$y = 4(x^2 + \frac{1}{2}x + (\frac{1}{4})^2 - (\frac{1}{4})^2) - 1$

$y = 4(x + \frac{1}{4})^2 - 4 \cdot \frac{1}{16} - 1$

$y = 4(x + \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{4} - \frac{4}{4}$

$y = 4(x + \frac{1}{4})^2 - \frac{5}{4}$

頂点の座標は$(-\frac{1}{4}, -\frac{5}{4})$です。

(4) $y = -\frac{1}{3}x^2 - \frac{8}{3}x + \frac{1}{3}$ を平方完成させます。

$y = -\frac{1}{3}(x^2 + 8x) + \frac{1}{3}$

$y = -\frac{1}{3}(x^2 + 8x + 16 - 16) + \frac{1}{3}$

$y = -\frac{1}{3}(x + 4)^2 + \frac{16}{3} + \frac{1}{3}$

$y = -\frac{1}{3}(x + 4)^2 + \frac{17}{3}$

頂点の座標は$(-4, \frac{17}{3})$です。

3. 最終的な答え

(1) $(\frac{3}{2}, -\frac{9}{2})$

(2) $(3, -\frac{7}{2})$

(3) $(-\frac{1}{4}, -\frac{5}{4})$

(4) $(-4, \frac{17}{3})$