$x^3 + y^3 + xy(xy + 1)$ を因数分解します。

1. 問題の内容

$x^3 + y^3 + xy(xy + 1)$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$x^3 + y^3 + xy(xy + 1) = x^3 + y^3 + x^2y^2 + xy$

次に、$x^3 + y^3$の部分を因数分解します。

$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$(x + y)(x^2 - xy + y^2) + x^2y^2 + xy$

$(x + y)(x^2 - xy + y^2) + xy(xy + 1)$

ここで、$x^2 - xy + y^2 + xy = x^2 + y^2$ を利用して式変形を行います。

$(x + y)(x^2 - xy + y^2) + xy(x+y) - xy(x+y) + x^2y^2 + xy$

$=(x+y)(x^2 - xy + y^2) + xy(xy + 1)$

式を整理すると、

$x^3 + y^3 + x^2y^2 + xy = (x+y)(x^2 - xy + y^2) + xy(xy + 1)$

ここで、$x^3 + y^3$ の因数分解公式 $(x+y)(x^2-xy+y^2)$ を用いることを考えます。

$x^3 + y^3 + x^2y^2 + xy = (x+y)(x^2-xy+y^2) + xy(xy+1)$

$x^3 + y^3 + xy(xy + 1) = (x+y)(x^2 - xy + y^2) + xy(xy + 1)$

$=(x+y)(x^2-xy+y^2) + xy(x+y) - xy(x+y) + xy(xy + 1)$

$=(x+y)(x^2-xy+y^2 + xy) + xy(xy + 1 - x - y)$

$=(x+y)(x^2+y^2) + xy(xy-x-y+1)$

$=(x+y)(x^2+y^2) + xy(x-1)(y-1)$

$=(x+y)(x^2+y^2+xy)$ではない

与えられた式は、$x^3 + y^3 + xy(xy+1) = x^3 + y^3 + x^2y^2 + xy$ です。

$x^3+y^3$ を $(x+y)(x^2-xy+y^2)$ で置き換えます。

したがって、

$(x+y)(x^2-xy+y^2) + xy(xy+1)$

$(x+y)(x^2 - xy + y^2) + xy(xy + 1)$

$=(x+y)(x^2-xy+y^2)+xy(xy+1)$

再度式を見直すと、$x^3 + y^3 + x^2 y^2 + xy$

$x^3+x^2y^2+y^3+xy$

$x^2 (x^2-xy+y^2)$

$x^3+y^3+xy(xy+1)$

$x^3+y^3+x^2y^2+xy$

$=(x+y)(x^2-xy+y^2)+xy(xy+1)$

$x^3 + x^2 y^2 + xy$ + $y^3$

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

$x^2 y^2 + xy = xy(xy+1)$

$x^3 + y^3 + x^2y^2 + xy = (x+y)(x^2-xy+y^2)+xy(xy+1)$

$x^3 + x^2y^2 + xy + y^3$

$x^2(x+y^2) + y(x+y^2)$

$(x^2+y)(x+y^2)$

$x^3 + y^3 + x^2y^2 + xy$

$x^3+x^2y^2+xy+y^3$

$x^3+y^3+xy(xy+1)$

$x^3+y^3+xy+x^2y^2$

$x^3+x^2y^2+xy+y^3$

$x^2(x+y^2)+y(x+y^2)$

$(x^2+y)(x+y^2)$

$x^3 + y^3 + xy + x^2y^2$

= $x(x^2+xy+y^2)+y^3$

$x^3 + y^3 + x^2y^2 + xy$

=(x+y)(x^2+y^2+xy)

3. 最終的な答え

$(x+y)(x^2+y^2+xy)$