与えられた行列の階数を求めます。行列は $\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ です。

1. 問題の内容

与えられた行列の階数を求めます。行列は

$\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

です。

2. 解き方の手順

行列の階数を求めるには、行基本変形を用いて行列を簡約化し、ゼロでない行の数を数えます。

与えられた行列を $A$ とします。

$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

まず、1行目を2で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & -1/2 & -1/2 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

次に、2行目に1行目を足し、3行目に1行目を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & -1/2 & -1/2 \\ 0 & 3/2 & -3/2 \\ 0 & -3/2 & 3/2 \end{pmatrix}$

次に、2行目を $2/3$ 倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & -1/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -3/2 & 3/2 \end{pmatrix}$

次に、3行目に2行目の $3/2$ 倍を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & -1/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

最後に、1行目に2行目の $1/2$ 倍を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

簡約化された行列は

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

となります。

ゼロでない行の数は2です。したがって、行列の階数は2です。

3. 最終的な答え

行列の階数は2です。