(7) 多項式 $x^3 - 3x^2 - 4x + 8$ を $x+2$ で割ったときの余りを求める。 (8) 多項式 $x^3 - ax + 4$ が $x-1$ を因数に持つとき、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

(7) 多項式 $x^3 - 3x^2 - 4x + 8$ を $x+2$ で割ったときの余りを求める。

(8) 多項式 $x^3 - ax + 4$ が $x-1$ を因数に持つとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(7)

剰余の定理を用いる。多項式 $P(x)$ を $x-c$ で割ったときの余りは $P(c)$ である。この問題では、$P(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 8$ であり、$x+2=0$ より $c=-2$ となる。したがって、余りは $P(-2)$ である。

$P(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 4(-2) + 8 = -8 - 3(4) + 8 + 8 = -8 - 12 + 8 + 8 = -4 -12 = -4$

(8)

因数定理を用いる。多項式 $P(x)$ が $x-c$ を因数に持つとき、$P(c) = 0$ である。この問題では、$P(x) = x^3 - ax + 4$ であり、$x-1=0$ より $c=1$ となる。したがって、$P(1) = 0$ である。

$P(1) = (1)^3 - a(1) + 4 = 1 - a + 4 = 5 - a = 0$

$a = 5$

3. 最終的な答え

(7) 余り: -4

(8) 定数 $a$ の値: 5