$a$は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 2x - 2$ ($0 \le x \le a$)の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 2x - 2$ ($0 \le x \le a$)の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2x - 2 = (x - 1)^2 - 3$

この関数のグラフは、下に凸な放物線であり、軸は $x = 1$ です。定義域は $0 \le x \le a$ です。

軸の位置と定義域の端点である $x=0$ と $x=a$ の位置関係によって、最大値が変化します。

(i) $0 < a < 1$ のとき、定義域内で関数は単調減少であるため、$x = 0$ で最大値をとります。

$x=0$ を代入すると、 $y = 0^2 - 2(0) - 2 = -2$

(ii) $a = 1$ のとき、定義域内で関数は$x=1$まで減少し、その後増加することはないので、$x = 0$ で最大値をとります。

$x=0$ を代入すると、 $y = 0^2 - 2(0) - 2 = -2$

(iii) $1 < a$ のとき、$x=0$と$x=a$のどちらで最大値をとるか考えます。

$x=0$のとき、$y = -2$

$x=a$のとき、$y = a^2 - 2a - 2$

$a^2 - 2a - 2 > -2$となる$a$の条件を求めます。

$a^2 - 2a > 0$

$a(a - 2) > 0$

$a > 2$ または $a < 0$

$a > 0$より、$a > 2$

よって、$1 < a \le 2$ のとき、$x = 0$ で最大値をとります。

$x=0$ を代入すると、$y = 0^2 - 2(0) - 2 = -2$

$a > 2$ のとき、$x = a$ で最大値をとります。

$x=a$ を代入すると、$y = a^2 - 2a - 2$

まとめる

$0 < a \le 2$ のとき、$x=0$で最大値 $-2$

$a > 2$ のとき、$x=a$で最大値 $a^2 - 2a - 2$

3. 最終的な答え

$0 < a \le 2$ のとき、最大値は $-2$

$a > 2$ のとき、最大値は $a^2 - 2a - 2$