a を定数とする二次関数 $f(x) = x^2 - 2(2a^2 - 5a)x + 10a^4 - 20a^3 + 34a^2 + 5$ について、 (1) $y=f(x)$ のグラフの頂点の座標を求める。 (2) a が実数全体を動くときの、頂点の $x$ 座標の最小値を求める。 (3) $t=a^2$ とおき、頂点の $y$ 座標を $t$ の式で表し、a が実数全体を動くときの頂点の $y$ 座標の最小値を求める。

1. 問題の内容

a を定数とする二次関数 $f(x) = x^2 - 2(2a^2 - 5a)x + 10a^4 - 20a^3 + 34a^2 + 5$ について、

(1) $y=f(x)$ のグラフの頂点の座標を求める。

(2) a が実数全体を動くときの、頂点の $x$ 座標の最小値を求める。

(3) $t=a^2$ とおき、頂点の $y$ 座標を $t$ の式で表し、a が実数全体を動くときの頂点の $y$ 座標の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求めるために、まず平方完成を行う。

\begin{align*}

f(x) &= x^2 - 2(2a^2 - 5a)x + 10a^4 - 20a^3 + 34a^2 + 5 \\

&= (x - (2a^2 - 5a))^2 - (2a^2 - 5a)^2 + 10a^4 - 20a^3 + 34a^2 + 5 \\

&= (x - (2a^2 - 5a))^2 - (4a^4 - 20a^3 + 25a^2) + 10a^4 - 20a^3 + 34a^2 + 5 \\

&= (x - (2a^2 - 5a))^2 + 6a^4 - 40a^3 + 9a^2 + 5

\end{align*}

したがって、頂点の座標は $(2a^2 - 5a, 6a^4 - 40a^3 + 9a^2 + 5)$ となる。

(2) 頂点の $x$ 座標は $2a^2 - 5a$ である。この最小値を求めるために、平方完成を行う。

\begin{align*}

2a^2 - 5a &= 2(a^2 - \frac{5}{2}a) \\

&= 2(a - \frac{5}{4})^2 - 2(\frac{5}{4})^2 \\

&= 2(a - \frac{5}{4})^2 - \frac{25}{8}

\end{align*}

したがって、頂点の $x$ 座標の最小値は $-\frac{25}{8}$ となる。

(3) $t=a^2$ とおくと、頂点の $y$ 座標は $6a^4 - 40a^3 + 9a^2 + 5 = 6t^2 - 40at + 9t + 5$ となる。しかし、ここでは $t=a^2$ なので、y座標は　$6t^2+9t+5$ となる。これをさらに平方完成すると、

$6(t + \frac{3}{4})^2 - \frac{27}{8} + 5 = 6(t + \frac{3}{4})^2 + \frac{13}{8}$ となる。ただし、$t=a^2 \geq 0$ なので、頂点の $y$ 座標の最小値は、$t=0$ のとき $6(0)^2 + 9(0) + 5 = 5$ である。

3. 最終的な答え

ア：$2a^2 - 5a$

イ：$6a^4 - 40a^3 + 9a^2 + 5$

ウ：$6$

エ：$9$

オ：$5$

カキク：$-\frac{25}{8}$

ケ：$5$