2次方程式 $2x^2 - 2ax - a + 1 = 0$ が $0 \le \theta < 2\pi$ を満たす $\theta$ に対して、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ を解に持つとき、$a$ と $\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - 2ax - a + 1 = 0$ が $0 \le \theta < 2\pi$ を満たす $\theta$ に対して、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ を解に持つとき、$a$ と $\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式の解と係数の関係より、2つの解の和と積は以下のようになる。

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{-(-2a)}{2} = a$

$\sin \theta \cos \theta = \frac{-a+1}{2}$

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta$

これに上の結果を代入すると、

$a^2 = 1 + 2 (\frac{-a+1}{2}) = 1 - a + 1 = 2-a$

$a^2 + a - 2 = 0$

$(a+2)(a-1) = 0$

よって、$a=-2$ または $a=1$

(i) $a = 1$ のとき

$\sin \theta + \cos \theta = 1$

$\sin \theta \cos \theta = \frac{-1+1}{2} = 0$

$\sin \theta = 0$ または $\cos \theta = 0$

$\sin \theta = 0$ のとき $\cos \theta = 1$, よって $\theta = 0$

$\cos \theta = 0$ のとき $\sin \theta = 1$, よって $\theta = \frac{\pi}{2}$

したがって、$(a, \theta) = (1, 0), (1, \frac{\pi}{2})$

(ii) $a = -2$ のとき

$\sin \theta + \cos \theta = -2$

$\sin \theta \cos \theta = \frac{-(-2)+1}{2} = \frac{3}{2}$

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (-2)^2 = 4 = \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 + 2(\frac{3}{2}) = 1 + 3 = 4$

しかし、$\sin \theta \le 1$ かつ $\cos \theta \le 1$ より、$\sin \theta + \cos \theta = -2$ となるのは $\sin \theta = \cos \theta = -1$ のときのみ。

このとき、$\theta = \frac{3\pi}{2}$。

$\sin \theta \cos \theta = (-1)(-1) = 1 \ne \frac{3}{2}$ となるので不適。

$\sin \theta + \cos \theta = -2$ と $\sin \theta \cos \theta = \frac{3}{2}$ を満たす $\theta$ は存在しない。

したがって、$a = -2$ は不適。

3. 最終的な答え

$a = 1, \theta = 0$ または $a = 1, \theta = \frac{\pi}{2}$