公比が3の等比数列 $\{a_n\}$ において、初項から第4項までの和が80である。 (1) 一般項 $a_n$ を求めよ。 (2) 初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

公比が3の等比数列 $\{a_n\}$ において、初項から第4項までの和が80である。

(1) 一般項 $a_n$ を求めよ。

(2) 初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 初項を $a$ とする。第4項までの和が80なので、以下の式が成り立つ。

$a + 3a + 9a + 27a = 80$

$40a = 80$

$a = 2$

したがって、一般項 $a_n$ は、$a_n = a \cdot r^{n-1}$ より、

$a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$

(2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、等比数列の和の公式より、

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$

初項 $a=2$, 公比 $r=3$ を代入すると、

$S_n = \frac{2(3^n - 1)}{3-1} = \frac{2(3^n - 1)}{2} = 3^n - 1$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$

(2) $S_n = 3^n - 1$