与えられた式を因数分解する問題です。具体的には、以下の4つの式を因数分解します。 (1) $x^2 - 6x + 9 - y^2$ (2) $x^2 - y^2 + 4y - 4$ (3) $4x^2 - 4y^2 + 4y - 1$ (4) $x^2 - 2xy + y^2 - 9z^2$

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解する問題です。具体的には、以下の4つの式を因数分解します。

(1) $x^2 - 6x + 9 - y^2$

(2) $x^2 - y^2 + 4y - 4$

(3) $4x^2 - 4y^2 + 4y - 1$

(4) $x^2 - 2xy + y^2 - 9z^2$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 6x + 9 - y^2$

まず、$x^2 - 6x + 9$ が $(x-3)^2$ であることに気づきます。すると、与式は $(x-3)^2 - y^2$ となり、これは差の二乗の形なので、以下のように因数分解できます。

$(x-3)^2 - y^2 = (x-3+y)(x-3-y) = (x+y-3)(x-y-3)$

(2) $x^2 - y^2 + 4y - 4$

まず、$- y^2 + 4y - 4 = -(y^2 - 4y + 4) = -(y-2)^2$ と変形します。すると、与式は $x^2 - (y-2)^2$ となり、これは差の二乗の形なので、以下のように因数分解できます。

$x^2 - (y-2)^2 = (x+(y-2))(x-(y-2)) = (x+y-2)(x-y+2)$

(3) $4x^2 - 4y^2 + 4y - 1$

まず、$- 4y^2 + 4y - 1 = -(4y^2 - 4y + 1) = -(2y-1)^2$ と変形します。すると、与式は $4x^2 - (2y-1)^2 = (2x)^2 - (2y-1)^2$ となり、これは差の二乗の形なので、以下のように因数分解できます。

$(2x)^2 - (2y-1)^2 = (2x+(2y-1))(2x-(2y-1)) = (2x+2y-1)(2x-2y+1)$

(4) $x^2 - 2xy + y^2 - 9z^2$

まず、$x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$ と変形します。すると、与式は $(x-y)^2 - 9z^2 = (x-y)^2 - (3z)^2$ となり、これは差の二乗の形なので、以下のように因数分解できます。

$(x-y)^2 - (3z)^2 = (x-y+3z)(x-y-3z)$

3. 最終的な答え

(1) $(x+y-3)(x-y-3)$

(2) $(x+y-2)(x-y+2)$

(3) $(2x+2y-1)(2x-2y+1)$

(4) $(x-y+3z)(x-y-3z)$