次の不等式を解く問題です。 (1) $3(2x-4) + 2(x-6) \le 4x$ (2) $\frac{2}{3}x - \frac{x+1}{2} > \frac{x-7}{4} + \frac{5}{6}$ (3) $0.5(x-5) - 1 \le 0.8x + 0.7$ (4) $\sqrt{3x-2} > 2x + \sqrt{3}$

1. 問題の内容

次の不等式を解く問題です。

(1) $3(2x-4) + 2(x-6) \le 4x$

(2) $\frac{2}{3}x - \frac{x+1}{2} > \frac{x-7}{4} + \frac{5}{6}$

(3) $0.5(x-5) - 1 \le 0.8x + 0.7$

(4) $\sqrt{3x-2} > 2x + \sqrt{3}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、不等式を展開します。

$6x - 12 + 2x - 12 \le 4x$

次に、$x$ の項を左辺に、定数項を右辺に集めます。

$6x + 2x - 4x \le 12 + 12$

$4x \le 24$

両辺を4で割ります。

$x \le 6$

(2)

まず、不等式の両辺に12を掛けて、分母を払います。

$12(\frac{2}{3}x - \frac{x+1}{2}) > 12(\frac{x-7}{4} + \frac{5}{6})$

$8x - 6(x+1) > 3(x-7) + 10$

$8x - 6x - 6 > 3x - 21 + 10$

$2x - 6 > 3x - 11$

$x$ の項を左辺に、定数項を右辺に集めます。

$2x - 3x > -11 + 6$

$-x > -5$

両辺に-1を掛けて、不等号の向きを変えます。

$x < 5$

(3)

まず、不等式を展開します。

$0.5x - 2.5 - 1 \le 0.8x + 0.7$

$0.5x - 3.5 \le 0.8x + 0.7$

$x$ の項を左辺に、定数項を右辺に集めます。

$0.5x - 0.8x \le 0.7 + 3.5$

$-0.3x \le 4.2$

両辺を-0.3で割って、不等号の向きを変えます。

$x \ge \frac{4.2}{-0.3}$

$x \ge -14$

(4)

まず、両辺を2乗します。ただし、$2x + \sqrt{3} < 0$ の場合は、不等式は成り立ちません。

$3x - 2 > (2x + \sqrt{3})^2$

$3x - 2 > 4x^2 + 4\sqrt{3}x + 3$

$4x^2 + (4\sqrt{3} - 3)x + 5 < 0$

解の公式を用いて、$4x^2 + (4\sqrt{3} - 3)x + 5 = 0$ の解を求めようとすると、判別式 $D = (4\sqrt{3}-3)^2 - 4(4)(5) = 48 - 24\sqrt{3} + 9 - 80 = -23 - 24\sqrt{3} < 0$ となり、実数解を持たないため、$4x^2 + (4\sqrt{3} - 3)x + 5 < 0$ となる $x$ は存在しません。

ここで、$2x + \sqrt{3} < 0$ すなわち、$x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を考えます。

このとき、$\sqrt{3x-2}$ は定義できないので、実数解なし。

3. 最終的な答え

(1) $x \le 6$

(2) $x < 5$

(3) $x \ge -14$

(4) 解なし