二次方程式 $x^2 - 2ax - 2a + 3 = 0$ が与えられた条件を満たすような定数 $a$ の値の範囲を求める。 (1) $x$ 軸の正の部分において異なる2点で交わる (2) $x$ 軸の負の部分において異なる2点で交わる (3) $x$ 軸の $x < -2$ の部分で異なる2点で交わる (4) $x$ 軸の $0 < x < 4$ の部分と異なる2点で交わる

1. 問題の内容

二次方程式 $x^2 - 2ax - 2a + 3 = 0$ が与えられた条件を満たすような定数 $a$ の値の範囲を求める。

(1) $x$ 軸の正の部分において異なる2点で交わる

(2) $x$ 軸の負の部分において異なる2点で交わる

(3) $x$ 軸の $x < -2$ の部分で異なる2点で交わる

(4) $x$ 軸の $0 < x < 4$ の部分と異なる2点で交わる

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次方程式を $f(x) = x^2 - 2ax - 2a + 3$ とおく。

この二次方程式が条件を満たすためには、以下の3つの条件を確認する必要がある。

(i) 判別式 $D > 0$ （異なる2つの実数解を持つ条件）

(ii) 軸の位置

(iii) 特定の値における関数の符号

(1) $x$軸の正の部分において異なる2点で交わる場合：

(i) $D > 0$

$D = (-2a)^2 - 4(1)(-2a+3) = 4a^2 + 8a - 12 > 0$

$a^2 + 2a - 3 > 0$

$(a+3)(a-1) > 0$

$a < -3$ または $a > 1$

(ii) 軸の位置 > 0

軸は $x = -\frac{-2a}{2(1)} = a$ なので、$a > 0$

(iii) $f(0) > 0$

$f(0) = -2a + 3 > 0$

$2a < 3$

$a < \frac{3}{2}$

(i), (ii), (iii) を満たす $a$ の範囲は $1 < a < \frac{3}{2}$

(2) $x$軸の負の部分において異なる2点で交わる場合：

(i) $D > 0$ は(1)と同じで $a < -3$ または $a > 1$

(ii) 軸の位置 < 0

$a < 0$

(iii) $f(0) > 0$

$a < \frac{3}{2}$

(i), (ii), (iii) を満たす $a$ の範囲は $a < -3$

(3) $x$ 軸の $x < -2$ の部分で異なる2点で交わる場合：

(i) $D > 0$ は(1)と同じで $a < -3$ または $a > 1$

(ii) 軸の位置 < -2

$a < -2$

(iii) $f(-2) > 0$

$f(-2) = (-2)^2 - 2a(-2) - 2a + 3 = 4 + 4a - 2a + 3 = 2a + 7 > 0$

$2a > -7$

$a > -\frac{7}{2}$

(i), (ii), (iii) を満たす $a$ の範囲は $-\frac{7}{2} < a < -3$

(4) $x$ 軸の $0 < x < 4$ の部分と異なる2点で交わる場合：

(i) $D > 0$ は(1)と同じで $a < -3$ または $a > 1$

(ii) $0 <$軸の位置 $< 4$

$0 < a < 4$

(iii) $f(0) > 0$

$a < \frac{3}{2}$

(iv) $f(4) > 0$

$f(4) = 4^2 - 2a(4) - 2a + 3 = 16 - 8a - 2a + 3 = 19 - 10a > 0$

$10a < 19$

$a < \frac{19}{10}$

(i), (ii), (iii), (iv) を満たす $a$ の範囲は $1 < a < \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $1 < a < \frac{3}{2}$

(2) $a < -3$

(3) $-\frac{7}{2} < a < -3$

(4) $1 < a < \frac{3}{2}$