放物線 $y = x^2 - 5x + 6$ と直線 $y = x + k$ が接するとき、定数 $k$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 5x + 6$ と直線 $y = x + k$ が接するとき、定数 $k$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

放物線と直線が接するということは、それらの交点がただ一つであるということです。

まず、$y = x^2 - 5x + 6$ と $y = x + k$ を連立させて、$y$ を消去します。

$x^2 - 5x + 6 = x + k$

これを整理すると、

$x^2 - 6x + (6 - k) = 0$

この2次方程式がただ一つの解を持つ条件は、判別式 $D$ が 0 になることです。

判別式 $D$ は、$D = b^2 - 4ac$ で求められます。

この場合、$a = 1$, $b = -6$, $c = 6 - k$ なので、

$D = (-6)^2 - 4(1)(6 - k) = 36 - 24 + 4k = 12 + 4k$

$D = 0$ となる $k$ を求めます。

$12 + 4k = 0$

$4k = -12$

$k = -3$

3. 最終的な答え

$k = -3$