$x = \frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$, $y = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$ のとき、$x+y$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

$x = \frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$, $y = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$ のとき、$x+y$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の分母を有理化します。

$x = \frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{7-3} = \frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$

次に、$x+y$ を計算します。

$x+y = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}+\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{7}$