$x = \frac{1}{3 - \sqrt{5}}$、 $y = \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$ のとき、$x - y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{3 - \sqrt{5}}$、 $y = \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$ のとき、$x - y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の分母を有理化します。

$x = \frac{1}{3 - \sqrt{5}} = \frac{1}{3 - \sqrt{5}} \times \frac{3 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} = \frac{3 + \sqrt{5}}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})}$

$(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$

よって、 $x = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}$ となります。

次に、$x - y$ を計算します。

$x - y = \frac{3 + \sqrt{5}}{4} - \frac{3 - \sqrt{5}}{4} = \frac{(3 + \sqrt{5}) - (3 - \sqrt{5})}{4} = \frac{3 + \sqrt{5} - 3 + \sqrt{5}}{4} = \frac{2\sqrt{5}}{4}$

$x - y = \frac{\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{5}}{2}$