$\sqrt{3} + 1$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求めます。 (1) $a$ (2) $b$ (3) $a + \frac{2}{b}$ (4) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

1. 問題の内容

$\sqrt{3} + 1$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求めます。

(1) $a$

(2) $b$

(3) $a + \frac{2}{b}$

(4) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{3}$ の近似値を考えます。

$1 < \sqrt{3} < 2$ であること、そして $1.7^2 = 2.89 < 3$ かつ $1.8^2 = 3.24 > 3$ であることから、$\sqrt{3}$ は $1.7$ より少し大きい数であるとわかります。したがって、$\sqrt{3} + 1$ は $2.7$ より少し大きい数となります。

(1) $\sqrt{3} + 1$ の整数部分 $a$ を求めます。

$1 < \sqrt{3} < 2$ より、 $2 < \sqrt{3} + 1 < 3$ となります。したがって、$a = 2$ です。

(2) $\sqrt{3} + 1$ の小数部分 $b$ を求めます。

$b = (\sqrt{3} + 1) - a = (\sqrt{3} + 1) - 2 = \sqrt{3} - 1$ です。

(3) $a + \frac{2}{b}$ の値を求めます。

$a + \frac{2}{b} = 2 + \frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ です。

分母を有理化します。

$2 + \frac{2}{\sqrt{3} - 1} = 2 + \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = 2 + \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = 2 + \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{2} = 2 + \sqrt{3} + 1 = 3 + \sqrt{3}$

(4) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ の値を求めます。

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{3} - 1}$ です。

$\frac{1}{\sqrt{3} - 1}$ を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

したがって、

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{1 + \sqrt{3} + 1}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$

(2) $b = \sqrt{3} - 1$

(3) $a + \frac{2}{b} = 3 + \sqrt{3}$

(4) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$