$x$ の2次方程式 $x^2 + kx - (k+1) = 0$ の1つの解が $k+2$ であるとき、定数 $k$ の値とそのときの解を求める。

1. 問題の内容

$x$ の2次方程式 $x^2 + kx - (k+1) = 0$ の1つの解が $k+2$ であるとき、定数 $k$ の値とそのときの解を求める。

2. 解き方の手順

解 $x = k+2$ を方程式に代入する。

$(k+2)^2 + k(k+2) - (k+1) = 0$

この式を展開して整理する。

$k^2 + 4k + 4 + k^2 + 2k - k - 1 = 0$

$2k^2 + 5k + 3 = 0$

この2次方程式を解く。

$(2k+3)(k+1) = 0$

したがって、$k = -1$ または $k = -\frac{3}{2}$ である。

$k = -1$ のとき、方程式は $x^2 - x = 0$ となり、$x(x-1) = 0$。よって、$x=0, 1$。解の一つは $k+2 = -1+2 = 1$ なので、もう一つの解は $x=0$。

$k = -\frac{3}{2}$ のとき、方程式は $x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} = 0$ となる。$2x^2 - 3x + 1 = 0$ と変形でき、$(2x-1)(x-1)=0$。よって、$x = 1, \frac{1}{2}$。解の一つは $k+2 = -\frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2}$ なので、もう一つの解は $x=1$。

3. 最終的な答え

$k=-1$ のとき、解は $x=0,1$。$k+2=1$ なので、もう一つの解は $x=0$。

$k=-\frac{3}{2}$ のとき、解は $x=1,\frac{1}{2}$。$k+2 = \frac{1}{2}$ なので、もう一つの解は $x=1$。

したがって、

$k = -1$ のとき、もう一つの解は $x=0$。

$k = -\frac{3}{2}$ のとき、もう一つの解は $x=1$。