$n$ は自然数、$x$ は実数とする。次の命題の真偽を調べ、その逆、対偶、裏を述べ、それらの真偽を調べる。 (1) $n$ は9の倍数である $\implies$ $n$ は3の倍数である (2) $x \ne 2 \implies x^2 - 3x + 2 \ne 0$ (3) $x^2 - x = 0 \implies$ ($x=0$ または $x=1$)

1. 問題の内容

$n$ は自然数、$x$ は実数とする。次の命題の真偽を調べ、その逆、対偶、裏を述べ、それらの真偽を調べる。

(1) $n$ は9の倍数である $\implies$ $n$ は3の倍数である

(2) $x \ne 2 \implies x^2 - 3x + 2 \ne 0$

(3) $x^2 - x = 0 \implies$ ($x=0$ または $x=1$)

2. 解き方の手順

(1)

* 元の命題: $n$ は9の倍数である $\implies$ $n$ は3の倍数である。

* 真偽: 真 (9の倍数は必ず3の倍数)

* 逆: $n$ は3の倍数である $\implies$ $n$ は9の倍数である。

* 真偽: 偽 ($n=3$ は反例)

* 対偶: $n$ は3の倍数でない $\implies$ $n$ は9の倍数でない。

* 真偽: 真 (元の命題が真なので対偶も真)

* 裏: $n$ は9の倍数でない $\implies$ $n$ は3の倍数でない。

* 真偽: 偽 (逆が偽なので裏も偽)

(2)

* 元の命題: $x \ne 2 \implies x^2 - 3x + 2 \ne 0$

* 真偽: 真 ($x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$ なので、$x \ne 2$ ならば $x^2 - 3x + 2 \ne 0$ )

* 逆: $x^2 - 3x + 2 \ne 0 \implies x \ne 2$

* 真偽: 偽 ($x=1$ は反例)

* 対偶: $x^2 - 3x + 2 = 0 \implies x = 2$

* 真偽: 偽 ($x=1$ は反例)

* 裏: $x = 2 \implies x^2 - 3x + 2 = 0$

* 真偽: 真 (元の命題が真なので対偶も真、逆が偽なので裏も偽。$x=2$ を代入すると $4-6+2 = 0$ )

(3)

* 元の命題: $x^2 - x = 0 \implies$ ($x=0$ または $x=1$)

* 真偽: 真 ($x^2 - x = x(x-1) = 0$ より $x=0$ または $x=1$)

* 逆: ($x=0$ または $x=1$) $\implies x^2 - x = 0$

* 真偽: 真 (元の命題が真なので、逆も真)

* 対偶: $\neg$ ($x=0$ または $x=1$) $\implies x^2 - x \ne 0$。つまり $x \ne 0$ かつ $x \ne 1 \implies x^2-x \ne 0$

* 真偽: 真 (元の命題が真なので対偶も真)

* 裏: $x^2 - x \ne 0 \implies \neg$($x=0$ または $x=1$)。つまり $x^2 - x \ne 0 \implies x \ne 0$ かつ $x \ne 1$

* 真偽: 真 (元の命題が真なので対偶も真、逆も真なので裏も真)

3. 最終的な答え

(1)

* 元の命題: 真

* 逆: 偽

* 対偶: 真

* 裏: 偽

(2)

* 元の命題: 真

* 逆: 偽

* 対偶: 偽

* 裏: 真

(3)

* 元の命題: 真

* 逆: 真

* 対偶: 真

* 裏: 真