(1) $\frac{2}{3-\sqrt{7}}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、 (1) $a$ と $b$ の値を求める。 (2) $ab^2 + b^3 - 2ab - b^2 - 2b$ の値を求める。 (2) $x+y = \sqrt{6}, xy = \frac{3}{2}$ とするとき、 (1) $x^2 + y^2$ と $x^3 + y^3$ の値を求める。 (2) $x$ と $y$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1)

$\frac{2}{3-\sqrt{7}}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、

(1) $a$ と $b$ の値を求める。

(2) $ab^2 + b^3 - 2ab - b^2 - 2b$ の値を求める。

(2)

$x+y = \sqrt{6}, xy = \frac{3}{2}$ とするとき、

(1) $x^2 + y^2$ と $x^3 + y^3$ の値を求める。

(2) $x$ と $y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

(1) まず $\frac{2}{3-\sqrt{7}}$ を有理化します。

$$\frac{2}{3-\sqrt{7}} = \frac{2(3+\sqrt{7})}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})} = \frac{2(3+\sqrt{7})}{9-7} = \frac{2(3+\sqrt{7})}{2} = 3+\sqrt{7}$$

$\sqrt{7}$ は $2<\sqrt{7}<3$ を満たすので、$3+\sqrt{7}$ は $5<3+\sqrt{7}<6$ を満たします。よって整数部分 $a=5$ であり、小数部分 $b = (3+\sqrt{7}) - 5 = \sqrt{7} - 2$ です。

(2) $ab^2 + b^3 - 2ab - b^2 - 2b = b(ab + b^2 - 2a - b - 2) = b(b(a+b)-2(a+1)-2)$ に $a=5$, $b=\sqrt{7}-2$ を代入します。$a+b = 5 + \sqrt{7} - 2 = 3 + \sqrt{7}$.

$ab^2 + b^3 - 2ab - b^2 - 2b = b(ab+b^2-2a-b-2) = b(a+b)b-2(a+1)-2b$

$= (\sqrt{7} - 2) ((3+\sqrt{7})(\sqrt{7}-2) - 2(6) -2)$

$= (\sqrt{7} - 2) (3\sqrt{7} - 6 + 7 - 2\sqrt{7} - 12 - 2) = (\sqrt{7} - 2) (\sqrt{7} - 13) = 7 - 13\sqrt{7} - 2\sqrt{7} + 26 = 33 - 15\sqrt{7}$

ここで、$ab^2 + b^3 - 2ab - b^2 - 2b = ab^2-2ab-b^2 + b^3 - 2b = b(ab-2a-b)+b(b^2-2)= b((a-1)b-2a)+b(b^2-2)$

$b^2 = (\sqrt{7}-2)^2 = 7 - 4\sqrt{7} + 4 = 11 - 4\sqrt{7}$

$b^3 = (\sqrt{7}-2)(11-4\sqrt{7}) = 11\sqrt{7} - 4(7) - 22 + 8\sqrt{7} = 19\sqrt{7} - 50$

$ab^2-2ab-b^2 = 5(11-4\sqrt{7}) - 2(5)(\sqrt{7}-2) - (11-4\sqrt{7}) = 55 - 20\sqrt{7} - 10\sqrt{7} + 20 - 11 + 4\sqrt{7} = 64-26\sqrt{7}$

$b^3 - 2b = 19\sqrt{7} - 50 - 2(\sqrt{7}-2) = 17\sqrt{7} - 46$

$ab^2 + b^3 - 2ab - b^2 - 2b = 64-26\sqrt{7} + 17\sqrt{7} - 46 = 18 - 9\sqrt{7}$

(2)

(1) $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (\sqrt{6})^2 - 2(\frac{3}{2}) = 6 - 3 = 3$

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) = \sqrt{6} ( (\sqrt{6})^2 - 3(\frac{3}{2}) ) = \sqrt{6} (6 - \frac{9}{2}) = \sqrt{6} (\frac{12-9}{2}) = \frac{3}{2}\sqrt{6}$

(2) $x+y = \sqrt{6}$, $xy = \frac{3}{2}$ から、$x$ と $y$ は $t^2 - \sqrt{6}t + \frac{3}{2} = 0$ の解。

$t = \frac{\sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 4(1)(\frac{3}{2})}}{2} = \frac{\sqrt{6} \pm \sqrt{6-6}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

よって、$x = y = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

3. 最終的な答え

(1)

(1) $a=5$, $b=\sqrt{7}-2$

(2) $18-9\sqrt{7}$

(2)

(1) $x^2+y^2 = 3$, $x^3+y^3 = \frac{3}{2}\sqrt{6}$

(2) $x=y=\frac{\sqrt{6}}{2}$