以下の問題に答えます。 (3-1) 2次関数 $y = x^2 - 6x + 4$ のグラフの頂点の座標を求めます。 (3-2) 2次関数 $y = 3x^2 - 6x + 5$ のグラフの頂点の座標を求めます。 (3-3) 2次関数 $y = x^2 + 4x - 2$ のグラフを $x$ 軸方向に $-4$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動すると、$y = x^2 + ax + b$ のグラフになります。定数 $a$, $b$ の値を求めます。 (4-1) 2次関数 $y = x^2 - 4x + 8$ の最大値・最小値を求めます。 (4-2) 関数 $y = -(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{3} (-1 \leq x \leq 1)$ の最大値・最小値を求めます。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の問題に答えます。

(3-1) 2次関数 $y = x^2 - 6x + 4$ のグラフの頂点の座標を求めます。

(3-2) 2次関数 $y = 3x^2 - 6x + 5$ のグラフの頂点の座標を求めます。

(3-3) 2次関数 $y = x^2 + 4x - 2$ のグラフを $x$ 軸方向に $-4$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動すると、$y = x^2 + ax + b$ のグラフになります。定数 $a$, $b$ の値を求めます。

(4-1) 2次関数 $y = x^2 - 4x + 8$ の最大値・最小値を求めます。

(4-2) 関数 $y = -(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{3} (-1 \leq x \leq 1)$ の最大値・最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(3-1) 平方完成を行います。

$y = x^2 - 6x + 4 = (x - 3)^2 - 9 + 4 = (x - 3)^2 - 5$

頂点の座標は $(3, -5)$ です。

(3-2) 平方完成を行います。

$y = 3x^2 - 6x + 5 = 3(x^2 - 2x) + 5 = 3(x - 1)^2 - 3 + 5 = 3(x - 1)^2 + 2$

頂点の座標は $(1, 2)$ です。

(3-3) 平行移動を行います。

$y = x^2 + 4x - 2$ を $x$ 軸方向に $-4$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動すると、

$y - 3 = (x + 4)^2 + 4(x + 4) - 2$

$y = x^2 + 8x + 16 + 4x + 16 - 2 + 3 = x^2 + 12x + 33$

よって、$a = 12$, $b = 33$ です。

(4-1) 平方完成を行います。

$y = x^2 - 4x + 8 = (x - 2)^2 - 4 + 8 = (x - 2)^2 + 4$

これは下に凸なグラフなので、最小値は $x = 2$ のとき $4$ です。最大値はありません。

(4-2) 関数 $y = -(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{3} (-1 \leq x \leq 1)$ について、

$x = -\frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{1}{3}$ をとります。

$x = 1$ のとき $y = -(\frac{3}{2})^2 + \frac{1}{3} = -\frac{9}{4} + \frac{1}{3} = -\frac{27}{12} + \frac{4}{12} = -\frac{23}{12}$

$x = -1$ のとき $y = -(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{3} = -\frac{1}{4} + \frac{1}{3} = -\frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{1}{12}$

したがって、$x = -\frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{1}{3}$ をとり、$x = 1$ のとき最小値 $-\frac{23}{12}$ をとります。

3. 最終的な答え

(3-1) 頂点の座標: $(3, -5)$

(3-2) 頂点の座標: $(1, 2)$

(3-3) $a = 12$, $b = 33$

(4-1) 最小値: $4$ (最大値なし)

(4-2) 最大値: $\frac{1}{3}$, 最小値: $-\frac{23}{12}$